�����I�������� No.10

�����Υơ���

�ʲ� $p$ ���ǿ��Ǥ���Ȥ��� $q=p^s$ ( $s$ ����������)�Ǥ���Ȥ��롣

$n$ �Ĥ��ѿ� $X_1,\dots,X_n$ �˴ؤ��� ${\mathbb{F}}_q$ ������ ¿�༰ $f_1,f_2,\dots,f_m$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� ��������

$$f_1(X_1,X_2,\dots,X_n)=0,$$

$$f_2(X_1,X_2,\dots,X_n)=0,$$

$$f_3(X_1,X_2,\dots,X_n)=0,$$

$$\dots ,$$

$$\dots ,$$

$$f_m(X_1,X_2,\dots,X_n)=0$$

�� $V(f_1,\dots,f_m)$ ���뤤�� ( $f_1,f_2,\dots,f_m$ ���狼�꤭�äƤ�����ˤ�) $V$ �Ǥ���魯�� ${\mathbb{F}}_{q^r}$ �Ǥ� $V(f_1,\dots,f_m)$ �β�����Τ� $V(f_1,\dots,f_m)({\mathbb{F}}_{q^r})$ �ǽ�ɽ����

��� 10.1   �������� $V$ �ι�Ʊ�������ؿ���

$$Z(V,t)= \exp \left ( \sum_{k=1}^\infty \frac{\char93 V({\mathbb{F}}_{q^k})}{k}t^k \right)$$

�ˤ�ä�������롣����� ${\mathbb{F}}_q$ ���������������ϡ� $Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)$ �ʤɤȤ�񤯡�

�ºݤϱ��դε���ϼ�«����Τ����� �����Ǥϼ�«���ϵ��ˤ����ˡַ���Ū�٤�����פȤ��ư������Ȥˤ��롣

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{t^k}{k}=- \log(1-t)$$

�ˤ����դ��Ƥ�������

�� 10.1   2�Ĥ��ѿ� $X,Y$ �˴ؤ����������� $V=V(XY)$ ���Ф��ơ� $Z(V,t)=(1-t)/(1-qt)^2$ .

�� 10.2   2�Ĥ��ѿ� $X,Y$ �˴ؤ����������� $V=V(Y-X^2)$ ���Ф��ơ� $Z(V,t)=1/(1-qt)$

�� 10.3   2�Ĥ��ѿ� $X,Y$ �˴ؤ����������� $V=V(YX-1)$ ���Ф��ơ� $Z(V,t)=(1-t)/(1-qt)$

�ѿ�����ĤΤȤ��ϡ�����̿��ˤ�äƹ�Ʊ�������ؿ�����ޤ롣

̿�� 10.1   $f$ �� ${\mathbb{F}}_q$ �����ʰ��ѿ� $d$ ��¿�༰�Ǥ���Ȥ��롣 1�Ĥ��ѿ� $X$ �˴ؤ��������� $V=V(f(X))$ �ˤĤ��ơ�

$$Z(V,t)=\frac{1}{1-t^d}$$

������Ω�ġ�

$f$ ������Ǥʤ��Ȥ��Ϥɤ�������������򻲾ȤΤ��ȡ�

���� 10.1   $q$ �ϴ��ǿ��ζҤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ� 1�Ĥ��ѿ� $X$ �˴ؤ��������� $V=V(X^2-1)$ ���Ф��ơ� $Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)$����ʤ�����

���� 10.2   1�Ĥ��ѿ� $X$ �˴ؤ��������� $V=V(X^3+1)$ ���Ф��ơ� $Z(V/{\mathbb{F}}_5,t)$����ʤ�����