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鐃緒申鐃緒申鐃�II 鐃庶験略鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 14.1   $ 4$ 鐃緒申鐃塾ワ申鵐或涎鐃� $ \lambda={\scriptsize\yng(2,1,1)}$ 鐃祝つわ申鐃銃￥申 $ {\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ 鐃塾醐申 $ z=S(1 2)$ 鐃緒申表鐃緒申 $ (\pi_\lambda,V_\lambda)$ 鐃緒申 鐃宿のよう鐃淑削申鐃術わ申圓鐃緒申鐃緒申鐃緒申劼鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

(略鐃緒申)

$\displaystyle S(12)=(12)+(13)+(23)+(14)+(24)+(34).$ (鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申鐃� $ \Delta({\scriptsize\young(14,2,3)})=\Delta_{123}$ 鐃祝削申鐃術わ申鐃緒申鐃暑こ鐃夙わ申 鐃粛わ申鐃緒申个茲わ申鐃� (鐃緒申)鐃塾縁申鐃春の最緒申鐃�3鐃緒申鐃� $ \Delta_{123}$ 鐃緒申 $ -1$ 鐃旬で削申鐃術わ申鐃暑。 鐃緒申鐃夙わ申3鐃準が鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�

  $\displaystyle ((14)+(24)+(34) ).\Delta_{123}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle ((14)+(24)+(34) ).(X_1-X_2)(X_1-X_3)(X_2-X_3)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle (X_4-X_2)(X_4-X_3)(X_2-X_3)$    
$\displaystyle +$ $\displaystyle (X_1-X_4)(X_1-X_3)(X_4-X_3)$    
$\displaystyle +$ $\displaystyle (X_1-X_2)(X_1-X_4)(X_2-X_4)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle h(X_1,X_2,X_3,X_4)$   鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申    

鐃夙わ申辰董鐃�$ h$ 鐃緒申彁鐃緒申鐃緒申鐃出よい鐃緒け鐃緒申鐃緒申鐃緒申直鐃祝計誌申鐃緒申鐃銃わ申茲わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申里茲�鐃緒申 鐃粛わ申鐃緒申罰擇砲覆襦� 命鐃緒申9.1鐃祝わ申蝓�$ z$ 鐃塾削申鐃術わ申鐃緒申鐃緒申椶任鐃緒申鐃熟わ申鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙わ申分鐃緒申鐃獣てわ申鐃緒申里如鐃� $ h$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ \Delta_{123}$ 鐃緒申鐃旬随申鐃叔なわ申鐃緒申个覆鐃淑わ申鐃緒け鐃叔わ申鐃暑。 鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃重醐申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ h$ 鐃緒申 $ X_4$ 鐃緒申泙泙覆鐃緒申鐃緒申砲覆襦ｏ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申辰董鐃�

$\displaystyle h(X_1,X_2,X_3,X_4)=h(X_1,X_2,X_3,X_1) $

鐃夙なってわ申鐃緒申呂鐃緒申任鐃緒申蝓�鐃緒申鐃春はわ申鐃緒申鐃緒申 $ \Delta_{123}$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申 鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申襦�

鐃殉とわ申鐃夙￥申

$\displaystyle S(12).\Delta_{123}=(-3+1)\Delta_{123}=-2 \Delta_{123} $

鐃緒申鐃淑わ申鐃� $ S(12)$ 鐃緒申 $ V_\lambda$ 鐃緒申 $ -2$ 鐃旬とわ申鐃銃削申鐃術わ申鐃暑。 (命鐃緒申9.1 鐃祝わ申蝓�$ V_\lambda$ 鐃緒申 $ S(12)$ 鐃熟ワ申鐃緒申鐃初ー鐃夙わ申鐃銃削申鐃術わ申鐃暑か鐃初、 鐃緒申里茲�鐃緒申 $ \Delta({\scriptsize\young(14,2,3)})$ 鐃舜の削申鐃術わ申佑鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申分鐃叔わ申鐃緒申里鐃緒申鐃緒申鐃叔種申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申佑鐃� $ \Delta({\scriptsize\young(13,2,4)})$ 鐃緒申鐃塾常申虜鐃緒申僂鐃銃わ申鐃緒申討澆討鐃処い鐃緒申 文鐃緒申鐃緒申鐃春わ申鐃舜わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃夙をしてわ申鐃緒申里鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃緒申隼廚鐃緒申鐃�)

鐃緒申鐃緒申 14.2   $ {\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ 鐃塾醐申 $ x=(1 2)(3 4)+(1 4)(2 3)$ 鐃夙￥申 4鐃緒申鐃塾ワ申鵐或涎鐃� $ \lambda=\yng(3,1)$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申 $ x$ 鐃緒申 $ \pi_\lambda$ 鐃緒申鐃宿緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $ \pi_\lambda(x)$ 鐃緒申 鐃叔常申多鐃準式鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

(略鐃緒申) $ V_\lambda$ 鐃熟種申鐃塾よう鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃暑。

$\displaystyle V_\lambda= {\mathbb{C}}\cdot (X_1-X_2)+ {\mathbb{C}}\cdot (X_1-X_3)+ {\mathbb{C}}\cdot (X_1-X_4). $

% latex2html id marker 955 $ b_1=(X_1-X_2),\quad b_2=(X_1-X_3),\quad b_3=(X_1-X_4)$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃夙￥申

$\displaystyle x.b_1$ $\displaystyle =(12)(34).(X_1-X_2)+(14)(23)(X_1-X_2)$    
  $\displaystyle =X_2-X_1+X_4-X_3= -b_1+b_2-b_3$    

  $\displaystyle x.b_1=-b_1+b_2-b_3$    
  $\displaystyle x.b_2=0$    
  $\displaystyle x.b_3=-b_1+b_2-b_3$    

鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃�$ V_\lambda$ 鐃塾器申鐃緒申箸鐃緒申鐃� $ \{b_1,b_2,b_3\}$ 鐃緒申鐃緒申僂鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申鐃� $ \pi_\lambda(x)$ 鐃緒申表鐃緒申鐃緒申鐃緒申蓮鐃�

$\displaystyle \pi_\lambda(x)= \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃暑。 鐃緒申鐃塾刻申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃渋随申犲逸申鐃� $ T^3+2T^2=T^2(T+2)$. 鐃竣誌申鐃緒申鐃銃みわ申鐃淑�鐃緒申鐃暑が鐃緒申 鐃叔常申多鐃準式鐃緒申 $ T(T+2)$ 鐃叔わ申鐃暑。 (鐃緒申鐃緒申鐃� $ x$ 鐃緒申 $ \mathbb{D}_8$ 鐃塾件申鐃縦わ申鐃醇心鐃緒申鐃夙わ申澆襪鰹申箸鐃緒申任鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃淳なわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申10.1鐃緒申鐃術わ申鐃暑こ鐃夙わ申任鐃緒申襦�)

鐃緒申鐃緒申 14.3   複鐃叔随申鐃緒申 $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦とわ申鐃銃含わ申鐃� $ R$ 鐃塾醐申 $ x$ 鐃塾最常申多鐃準式鐃緒申 $ T^3-1$ 鐃叔わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃緒申里茲�鐃淑常申鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申足鐃緒申鐃緒申 $ R$ 鐃塾醐申 $ e_1,e_2,e_3$ 鐃緒申 $ x$ 鐃緒申鐃術わ申鐃銃削申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申
  1. $ e_1+e_2+e_3=1$
  2. % latex2html id marker 996 $ e_1^2=e_1,\quad e_2^2=e_2,\quad e_3^2=e_3$
  3. % latex2html id marker 998 $ e_1 x = x,\quad e_2 x=\omega x,\quad e_3 x=\omega^2 x$
鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1000 $ \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ($ 1$ 鐃緒申3鐃処根鐃塾逸申鐃�)鐃夙わ申鐃暑。

(略鐃緒申) $ T^3-1=(T-1)(T-\omega)(T-\omega^2)$ 鐃叔わ申鐃所、$ x$ 鐃薯その醐申有鐃粛にわ申辰鐃� 分鐃薯しよう鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申襦�

  $\displaystyle e_1=\frac{(x-\omega)(x-\omega^2)}{(1-\omega)(1-\omega^2)}=\frac{x^2+x+1}{3}$    
  $\displaystyle e_2=\frac{(x-1)(x-\omega^2)}{(\omega-1)(\omega-\omega^2)}$    
  $\displaystyle e_3=\frac{(x-1)(x-\omega)}{(\omega^2-1)(\omega^2-\omega)}$    

鐃夙わ申鐃出よい鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 14.4   鐃緒申鐃塾よう鐃淑常申鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申足鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ A$ 鐃緒申鐃緒申鐃藷げよ。(鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申) 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申$ E$ 鐃緒申($ A$ 鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申)単鐃縮刻申鐃緒申任鐃緒申襦�
  1. $ (A-E)(A^3-E)=0$
  2. $ A$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申3鐃緒申鐃塾関件申鐃緒申鐃緒申鐃緒申足鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申

(略鐃緒申) 鐃純え鐃出種申鐃塾よう鐃淑わ申里鐃緒申鐃緒申襦�

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &\omega &0\\ 0 &0 &0 &\omega^2 \end{pmatrix}$

鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ \omega$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃銃縁申鐃緒申鐃�$ \omega$ 鐃塾よう鐃緒申複鐃叔随申鐃緒申鐃薯けわ申鐃緒申鐃緒申鐃祝は￥申 $ C_3$ 鐃緒申表鐃緒申鐃緒申廚鐃緒申个鐃緒申弔帖鐃緒申鐃緒申里茲�鐃淑わ申里鐃緒申鐃出よい鐃緒申

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &-1 &-1\\ 0 &0 &1 &0 \end{pmatrix}$

鐃緒申鐃緒申 14.5   $ \mathbb{D}_{8}=\langle a,b; a^4=e,b^2=e,bab^{-1}=a^{-1}\rangle $ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申 $ {\mathbb{C}}[\mathbb{D}_{8}]$ 鐃塾醐申 $ c=(b+a^2 b)$ 鐃緒申( $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃�) 鐃叔常申多鐃準式鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

(略鐃緒申)

  $\displaystyle c=(1+a^2)b$    
  $\displaystyle c^2=(1+a^2)^2 b^2= (1+2a^2+1) =2(1+a^2)$    
  $\displaystyle c^3=2(1+a^2)(1+a^2)b=4(1+a^2)b=4c$    

鐃醇え鐃祝￥申$ c$ 鐃緒申 $ c^3-4c$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申$ c$ 鐃塾最常申多鐃準式鐃緒申 $ T(T^2-4)=T(T-2)(T+2)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸砲覆襦� $ c$ 鐃緒申2鐃緒申鐃塾関件申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾わ申鐃峻駕申能鐃叔わ申鐃緒申里鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃祝確わ申鐃緒申鐃緒申襪�鐃初、 $ c$ 鐃塾最常申多鐃準式鐃熟￥申鐃緒申鐃順う鐃緒申 $ T(T-2)(T+2)$ 鐃叔わ申鐃暑。

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平鐃緒申15年7鐃緒申30鐃緒申