next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...

�����II���� No.9

�����Υơ���:

\fbox{
·²´Ä¤ÎÃæ¿´¤òÍѤ¤¤Æɽ¸½¤òʬ²ò¤¹¤ë¡£
}

�����ɽ���� $ {\mathbb{C}}$ ��Τ�Τ�ͤ��뤳�Ȥˤ��롣

����̿��ϡ�����ɽ�����濴���θ�ͭ���֤�ͤ��뤳�Ȥˤ�ä� ʬ�򤵤�뤳�Ȥ򼨤��Ƥ��롣

̿�� 9.1   $ G$-�÷� $ V$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $ r\in {\mathbb{C}}[G]$ �� $ V$ ���ɽ������� $ \pi_V(r)$ �Ƚñ¤¯¤ï¿½ï¿½È¤Ë¤ï¿½ï¿½ë¡£ $ z\in Z({\mathbb{C}}[G])$ �ˤ������ơ� $ \pi_V(z)$ �θ�ͭ�ͤΰ�� $ \lambda$ ��Ȥ�ȡ� $ \pi_V(z)-\lambda 1_V$ �γ� $ W$ �� $ V$ �� $ G$-��ʬ�÷��ˤʤ롣 �Ȥ��ˡ�$ V$ ������� $ G$-�÷��ΤȤ��ˤϡ�$ \pi_V(z)$ ��ɬ�������顼���� �ˤʤ롣

��   $ \mathfrak{S}_3$ ��� $ {\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_3]$ ���濴 $ Z({\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_3])$ �� $ 1, S(1\ 2), S(1\ 2\ 3)$ �� �����������ΤȰ��פ��롣���δĹ�¤��Ĵ�٤Ƥߤ褦��

$\displaystyle S(1\ 2)^2=3(1+S(1\ 2\ 3))
$

$\displaystyle S(1\ 2)S(1\ 2\ 3)=2S(1\ 2)
$

$ z=S(1\ 2)$ �Ȥ����ȡ�

$\displaystyle z^3-9z=0
$

�������äơ� $ \mathfrak{S}_3$ ��ɽ���ϡ�$ z=0$, $ z=3$, $ z=-3$ �Τ��줾�����ʬ�� ʬ��Ǥ��롣

$ \mathfrak{S}_3$ ���ִ�ɽ���ϼ��Τ褦��ʬ�򤵤�롣

$\displaystyle {\mathbb{C}}^3={\mathbb{C}}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pm...
...}\oplus
\left\{
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix};
x+y+z=0
\right \}
$

Ʊ�ͤˡ� $ \mathfrak{S}_3$ ����§ɽ����3�Ĥ�ɽ��(1������2�Ĥ�4������1��)�� ľ�¤�ʬ�򤵤�롣 1������ɽ���ϡ�

% latex2html id marker 820
$\displaystyle \frac{1}{3}(z(z+3))=1+S(1\ 2) +S(1\ 2\ 3) \quad (=\sum_{g \in \mathfrak{S}_3} g)
$

������������Τȡ�

$\displaystyle z^2-9=3(S(1\ 2\ 3)-2)
$

������������ΤǤ��롣 4�����Τ�Τϼ¤Ϥޤ�����ǤϤʤ���

���� 9.1   $ {\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ �θ� $ z=S(1\ 2)$ �ˤ������ơ�$ z^2$ �� $ 1, S(1\ 2), S(1\ 2\ 3)$, $ S((1\ 2)(3\ 4))$, $ S(1\ 2\ 3\ 4)$ ���������� ��ɽ����

���� 9.2   4�Ĥθ� $ \{1,2,3,4\}$ �ζ��ִ������ΤΤʤ���(4�����已) $ \mathfrak{A}_4$ �� �Ĥ��ơ����η��Ĥ��濴 $ Z({\mathbb{C}}[\mathfrak{A}_4])$ ���� Ĵ�٤衣



2003/6/25