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鐃緒申鐃緒申鐃�II鐃緒申鐃緒申 No.3

鐃緒申鐃緒申鐃塾テ￥申鐃緒申:

\fbox{「群の表現」の定義、正則表現}

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鐃渋は￥申$ G$ 鐃緒申 $ R[G]$ 鐃緒申鐃塾の常申鐃宿緒申鐃緒申任鐃緒申襦� 鐃緒申鐃塾わ申鐃夙を、とわ申鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃緒申 $ K$ 鐃塾とわ申鐃祝詳わ申鐃緒申鐃緒申鐃銃みるこ鐃夙にわ申鐃暑。

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% latex2html id marker 780 $\displaystyle {\operatorname{GL}}_n(K)= \left\{ A=\... ..._{nn} \end{pmatrix}; a_{ij} \in K ,\quad \operatorname{det}(A)\neq 0 \right\} $

鐃緒申鐃� 3.1   鐃縦器申鐃緒申 $ K$ 鐃緒申鐃� $ G$ 鐃緒申 $ n$-鐃緒申鐃緒申表鐃緒申鐃夙は￥申 $ G$ 鐃緒申鐃緒申 $ {\operatorname{GL}}_n(K)$ 鐃舜の件申鐃緒申同鐃緒申 鐃塾わ申鐃夙をいわ申鐃緒申

$ K$ 鐃緒申鐃� $ G$ 鐃緒申 $ n$-鐃緒申鐃緒申表鐃緒申 $ \pi$ 鐃緒申鐃緒申泙鐃夙￥申 $ G$ 鐃塾醐申 $ g$ 鐃緒申 $ K^n$ 鐃塾醐申 $ v$ 鐃舜の「削申鐃術」わ申

$\displaystyle g.v=\pi(g)v $

鐃祝わ申辰鐃緒申鐃殉る。 鐃緒申鐃塾「削申鐃術」は種申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申
  1. $ g.(v+w)=g.v+g.w$, $ g.(cv)=c(g.v)$ ( $ g\in G,v,w\in K^n, c\in K$)
  2. $ (gh).(v)=g.(h.v)$ ( $ g,h\in G, v \in K^n$)

鐃春に￥申鐃緒申鐃塾よう鐃淑「削申鐃術」わ申鐃緒申鐃緒申弌鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申琉鐃縮ｏ申任鐃宿緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申襪鰹申箸鐃緒申任鐃緒申襦ｏ申鐃緒申鐃緒申颪�わ申鐃盾そ鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙わ申多鐃緒申鐃塾で￥申 鐃淑駕申鐃叔わ申多鐃緒申鐃塾常申鐃緒申鐃術でわ申辰鐃宿緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 3.1   有鐃渋件申 $ G$ 鐃緒申鐃緒申 $ K$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦�$ K[G]$ 鐃緒申鐃� $ G$ 鐃緒申表鐃緒申 $ \lambda$ 鐃緒申

$\displaystyle \lambda(g).{h}={gh} $

鐃緒申 $ K$-鐃緒申鐃緒申鐃祝鰹申張鐃緒申鐃緒申鐃緒申痢鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申

$\displaystyle \lambda(g).(\sum_{h}c_h {h})=\sum_{h} c_h{gh} $

鐃祝わ申鐃緒申鐃殉る。

鐃緒申鐃� 3.2   鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃叔件申泙鐃宿緒申鐃� $ \lambda$ 鐃緒申 $ G$ 鐃緒申鐃緒申則表鐃緒申鐃夙呼ぶ￥申

鐃緒申密鐃祝わ申鐃緒申鐃出￥申$ G$ 鐃塾醐申鐃祝どのよう鐃祝緒申鐃瞬わ申鐃春わ申鐃暑か鐃祝わ申辰鐃� $ G$ 鐃塾各醐申鐃緒申表鐃緒申鐃緒申鐃緒申楼鐃獣てわ申鐃暑。 鐃緒申鐃塾わ申鐃夙につわ申鐃銃はわ申辰噺鐃叔詳わ申鐃緒申調鐃駿るが鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃獣ては￥申 $ G$ 鐃塾醐申鐃塾緒申鐃瞬わ申適鐃緒申鐃緒申鐃春わ申鐃銃￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃叔刻申鐃緒申鐃宿緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃夙にわ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 3.1   $ 4$ 鐃縦の醐申鐃塾駈申鐃瞬器申鐃緒申鐃塾のなわ申鐃緒申 $ \mathfrak{A}_4$ 鐃緒申鐃緒申則表鐃緒申鐃叔￥申 $ (1 2 3)$ 鐃緒申鐃緒申鐃� $ (1 2)(3 4)$ 鐃緒申鐃出縁申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申颪�駕申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 ( $ \mathfrak{A}_4$ 鐃塾醐申鐃塾緒申鐃瞬わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申鐃緒申鐃夙￥申)

鐃緒申鐃緒申 3.2   鐃縮随申 $ 2n$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾件申

$\displaystyle \mathbb{D}_{2n}=\langle a,b ; a^n=e, b^2=e, bab^{-1}=a^{-1}\rangle $

鐃緒申鐃緒申則表鐃緒申鐃叔￥申 $ n=2,3$ 鐃塾常申鐃�(鐃叔わ申鐃緒申弌鐃緒申鐃獣と逸申鐃縮の常申鐃緒申) $ a,b$ 鐃緒申鐃出縁申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃熟どのよう鐃祝なるか鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 (鐃緒申鐃緒申鐃塾件申鐃祝つわ申鐃銃は￥申鐃緒申鐃叔わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申奮鐃緒申能鐃緒申辰討鐃緒申鐃熟わ申鐃淑ので￥申鐃緒申鐃緒申任肋椶鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃述べなわ申鐃緒申)


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