���������II ���� No.14

�����Υơ���:

�ؿ��Ĥ�������ɲä�������

��� 14.1   ${\mathbb{C}}[x]$ �� ${\mathbb{C}}$ �� $x$ ���ɲä��ƤǤ���ġ����ʤ�� $x$ �ˤĤ��Ƥ� ${\mathbb{C}}$ ������¿�༰���ΤΤʤ��ġ� ${\mathbb{C}}[[x]]$ �� $x$ �η���Ū�٤�����Τʤ��ĤǤ��ä��� ${\mathbb{C}}[[x]]$ ����ʬ�� ${\mathbb{C}}\convergent{x}$ ��

$${\mathbb{C}}\convergent{x}=\{f=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\in {\mathbb{C}}[[x]];$$   $f$ �μ�«Ⱦ�¤��� $$\}$$

��������� ${\mathbb{C}}$ ��μ�«�٤�����ĤȸƤ֡���

����ǥå����ε���ϡ��ؿ��� $\mathcal F$ ���������Ƽ��Τ褦�˽񤤤Ƥ��� �Τ��褤��

��� 14.2 (���13.2�Ʒ�)   $P\in \mathcal D$ �Ȥ��롣 $M=\mathcal D/\mathcal D P$ �Ȥ����ơ� $P$ �� $\mathcal F$ ��Υ���ǥå�����

$$\operatorname{ind}(P;\mathcal F) =\dim(\operatorname{Hom}_\mathcal D(M,\mathcal F))- \dim(\operatorname{Ext}^1_{\mathcal D}(M,\mathcal F))$$

��������롣(â����Ĥμ������Ȥ��ͭ�¼����ΤȤ���)

�ֵܹ��λ��ͽ�ֲ÷����áפˤϥޥ륰��󥸥������(161�ڡ���������10.1)�� �񤤤Ƥ��롣

���� 14.1 (�ޥ륰��󥸥�)   $P\in \mathcal D={\mathbb{C}}[x,\partial_x]$ �� $P=\sum_{i=0}^m a_i(t)\partial_x^i$ �Ƚñ¤¤¤ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½

1. $\operatorname{ind}(P,{\mathbb{C}}\convergent{x})=m-v(a_m)$
2. $\operatorname{ind}(P,{\mathbb{C}}[[x]])=\underset {0\leq i \leq m}{\max}(i-v(a_i))$

(â���� $v(\bullet)$ �� $\bullet$ �������ΰ̿��򤢤�魯��)

���ιֵ��ǤϤ��������ξ����ϽҤ٤ʤ����� ������ˤĤ��ƥ���ǥå������ɤ��ʤäƤ��뤫�� �Ҥ٤�����

�� 14.1   $P=x^2 \partial -1$ �ˤ������ơ�

1. $\operatorname{ind}(P,{\mathbb{C}}\convergent{x})=-1$
2. $\operatorname{ind}(P,{\mathbb{C}}[[x]])=0$

�ºݡ�������ˤĤ��Ƥ�

$$\dim(\operatorname{Hom}_\mathcal D(M,{... ...vergent{x}))=0,\quad \dim(\operatorname{Hom}_\mathcal D(M,{\mathbb{C}}[[x]])=0$$

��

$$\dim(\operatorname{Ext}^1_{\mathcal D}(M,{\mathbb{C}}[[x]]))=0$$

�Ϥ����ˤ狼�롣

$$\dim(\operatorname{Ext}^1_{\mathcal D}(M,{\mathbb{C}}\convergent{x}))\neq 0$$

���ݥ���Ȥǡ��������ʬ�������η���Ū�ʲ�ɬ�������«���ʤ����Ȥ� �б����Ƥ��롣