���������II ���� No.13

�����Υơ���:

$R$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣

��� 13.1   $R$ �÷� $M,N$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $M$ ���� $N$ �ؤ� $R$-�÷���Ʊ�������Τ�

$$\operatorname{Hom}_R(M,N)$$

�Ƚ񤯡�

�ʲ��� $\mathcal F$ ��Ŭ���ʴؿ�����(�㤨�С� ${\mathbb{C}}[[x]]$ �򤢤�魯���Ȥˤ��롣 $\mathcal F$ �� $\mathcal D$ �κ��ѤˤĤ����Ĥ��Ƥ���褦��.

���� 13.1   ��ʬ�����ǤΤʤ��� $\mathcal D ={\mathbb{C}}[x,\partial_x]$ �ȡ����ΰ�Ĥθ� $P=P(x,\partial)$ ���Ф��ơ� $M=\mathcal D/\mathcal D P$ �ϰ�Ĥ� $D$- �÷��Ǥ��롣 �ؿ��� $\mathcal F$ ���Ф��ơ�

$$\operatorname{Hom}_{\mathcal D} (M,\mathcal F)$$

�� $\mathcal F$ �Ǥ� $Pf=0$ �ʤ��������β�ζ��֤�Ʊ���Ǥ��롣

���� 13.2   ��ʬ�����ǤΤʤ��� $\mathcal D ={\mathbb{C}}[x,\partial_x]$ �ȡ����ΰ�Ĥθ� $P=P(x,\partial)$ ���Ф��ơ����Ʊ�ͤ� $M=\mathcal D/\mathcal D P$ �Ȥ����ȡ�

1. $$0\to \mathcal D \overset{\bullet P}\to \mathcal D \to M\to 0$$
   �ʤ봰������¸�ߤ��롣
2. ��δ������󤫤�
   $$0\to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(M,\mathcal F) \to \operatorn... ...thcal D,\mathcal F) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(\mathcal D,\mathcal F)$$
   �ʤ봰������������졢����ˤ��δ��������
   $$0\to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(M,\mathcal F) \to \mathcal F \overset{P.}{\to} \mathcal F$$
   ��Ʊ���Ǥ��롣

������ $\mathcal F \overset{P.}{\to} \mathcal F$ �����ͤǤϤʤ����¤ϡ� $\mathcal F/ P. \mathcal F$ �ϥۥ����������Ǹ����Ȥ����� $\operatorname{Ext}^1_{\mathcal D}(M,\mathcal F)$ �˰��פ��롣 �����ΤȤ����ε����ˤ��������ѿ��˸��ꤷ�����Ȥ������Ƥ��롣 ¿�ѿ����Ȥɤ��ʤ�Τ��䡢�ܺ٤ˤĤ��Ƥ� �ֵܹ��λ��ͽ�˵󤲤��ֲ÷����áפ˾�������

�Ȥꤢ�������ϼ��Τ��Ȥˤ������դ��Ƥ�������

̿�� 13.1   ��ʬ�����ǤΤʤ��� $\mathcal D ={\mathbb{C}}[x,\partial_x]$ �ȡ����ΰ�Ĥθ� $P=P(x,\partial)$ ���Ф��ơ� $M=\mathcal D/\mathcal D P$ �Ȥ����� �ؿ��� $\mathcal F$ ���Ф��ơ�

$$\operatorname{Ext}^1(M,\mathcal F)=\mathcal F /\{P u; u \in \mathcal F\}$$

���ʤꤿ�ġ�

��� 13.2   $P$ �� $\mathcal F$ ��Υ���ǥå�����

$$\operatorname{ind}P=\dim(\operatorname{Hom}_\mathcal D(M,\mathcal F)- \dim(\operatorname{Ext}^1_{\mathcal D}(M,\mathcal F))$$

��������롣(â����Ĥμ������Ȥ��ͭ�¼����ΤȤ���)

���� 13.1   $\partial-1$ �� ${\mathbb{C}}[[x]]$ ��Υ���ǥå�������衣