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鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�II 鐃緒申鐃緒申 No.4

鐃緒申鐃緒申鐃塾テ￥申鐃緒申:

\fbox{行列のジョルダン標準型}

鐃処週鐃祝逸申鐃緒申続鐃緒申鐃緒申 $ n$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ A \in M_n({\mathbb{C}})$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦�$ A$ 鐃緒申

$\displaystyle V={\mathbb{C}}^n ={\mathbb{C}}e_1+{\mathbb{C}}e_2 + {\mathbb{C}}e_3+\dots {\mathbb{C}}e_n $

鐃祝削申鐃術わ申鐃暑。鐃緒申鐃緒申鐃獣わ申鐃処う鐃祝￥申鐃緒申鐃塾よう鐃緒申 $ \phi,\psi$ 鐃緒申鐃緒申鐃暑。

$\displaystyle F_1 \overset{\psi}{\to} F_0 \overset{\phi}{\to} V $

但鐃緒申鐃緒申 $ F_0,F_1$ 鐃熟ワ申里箸鐃緒申討鐃銃縁申鐃緒申如鐃�

% latex2html id marker 924 $\displaystyle F_0=F_1={\mathbb{C}}[X]^n =\left\{ \... ..._n(X) \end{pmatrix} ; a_i (X)\in {\mathbb{C}}[X] \quad(i=1,2,\dots,n) \right\} $

鐃叔わ申鐃暑。 $ \phi: F_0 \to V$ 鐃緒申

$\displaystyle \phi$ $\displaystyle (a_1(X) \otimes e_1+ a_2(X) \otimes e_2+ a_3(X)\otimes e_3 +\dots+ a_n(X)\otimes e_n)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle a_1(X). e_1+ a_2(X) . e_2+ a_3(X). e_3 +\dots+ a_n(X). e_n$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle a_1(A) e_1+ a_2(A) e_2+ a_3(A) e_3 +\dots+ a_n(A) e_n$    

鐃叔￥申 $ \psi$ 鐃緒申

$\displaystyle \psi: F_1={\mathbb{C}}[X]^n \ni L \mapsto (X E -A) L\in {\mathbb{C}}[X]^n=F_0 $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申茲�鐃淑種申鐃緒申鐃叔わ申鐃獣わ申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申蓮鐃緒申鐃緒申里茲�鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃薯いてわ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃暑。

$ V$ 鐃塾各醐申鐃緒申複鐃叔随申鐃旬わ申鐃渋わ申鐃術わ申鐃緒申 $ e_1,e_2,\dots,e_n$ 鐃叔わ申鐃殉わ申表鐃緒申鐃叔わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ X$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申僂鐃緒申鐃夙どのわ申鐃初い鐃緒申鐃殉わ申表鐃緒申鐃叔わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃処週鐃緒申単鐃緒申鐃述わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申函鐃緒申鐃緒申里茲�鐃緒申単鐃緒申焚鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 4.1   $ V$ 鐃緒申 $ {\mathbb{C}}[X]$-鐃獣件申鐃夙わ申鐃緒申 $ {\mathbb{C}}[X]/d(X){\mathbb{C}}[X]$ 鐃塾件申鐃塾加件申鐃緒申 直鐃渋わ申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃夙わ申鐃祝￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿緒申鐃緒申鐃緒申屬蓮鐃� $ {\mathbb{C}}[X]/X^k {\mathbb{C}}[X]$ 鐃塾件申鐃塾加件申鐃緒申 直鐃渋わ申分鐃薯さわ申襦�

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾醐申鐃春で書くとワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿醐申犒随申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦�

鐃緒申鐃藷げよう鐃緒申

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

鐃夙わ申鐃暑。$ X$ 鐃緒申 $ V={\mathbb{C}}^2$ 鐃舜の削申鐃術わ申 $ X.v= A v $ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申函鐃�

% latex2html id marker 961 $\displaystyle X . e_1= e_1-e_2, \quad X. e_2=2 e_1-4 e_2 $

鐃緒申鐃緒申麓鐃緒申里茲�鐃淑刻申鐃藷算わ申表鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

$\displaystyle (e_1 \ e_2) (X E -A )=0 $

$ X E -A$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃獣わ申鐃処う鐃緒申

$\displaystyle P (X E -A)Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & X^2-5 X +6 \end{pmatrix}$

鐃夙書いてみる。鐃緒申鐃緒申鐃緒申

% latex2html id marker 969 $\displaystyle P= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & X-1 \end{pmatrix},\qquad Q= \begin{pmatrix} 1 & -X+4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

鐃叔わ申鐃暑。鐃緒申鐃緒申函鐃� $ {\mathbb{C}}[X]$-鐃獣件申鐃夙わ申鐃銃わ申 $ e_1, e_2$ 鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申

$\displaystyle (e_1 \ e_2) P^{-1}= ((X-1)e_1+e_2\ -e_1)=(0\ -e_1) $

鐃緒申鐃緒申譟�鐃緒申鐃緒申鐃緒申分鐃叔わ申鐃緒申 $ 0, -e_1$ 鐃緒申鐃術わ申鐃緒申里鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸砲覆襦�

$\displaystyle (0 \ -e_1) P= (e_1\ e_2) $

鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃� $ e_1=-(-e_1), \ e_2=(X-1).(-e_1)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃緒申 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃夙にわ申鐃緒申鐃春わ申鐃銃わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申

鐃舜随申鐃緒申鐃淳計￥申 No2.鐃塾ワ申檗鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃熟常申鐃緒申鐃書しわ申鐃獣わ申鐃処う鐃叔わ申鐃暑。鐃緒申鐃緒申蓮鐃�$ X$ 鐃塾関随申 $ f$ 鐃叔￥申 鐃緒申鐃塾よう鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃縦わ申里鐃縦わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申砲鐃緒申襦�

  1. $ f$ 鐃緒申 $ 1$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃縦￥申 鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃�$ f$ 鐃緒申 $ (X-1)$ 鐃叔鰹申鐃緒申擇鐃暑。
  2. $ f$ 鐃熟￥申$ 3$ 鐃叔誌申鐃重わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃縦￥申 鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃�$ f$ 鐃緒申 $ (X-3)^3$ 鐃叔鰹申鐃緒申擇鐃暑。
  3. $ f$ 鐃熟￥申$ 2$ 鐃緒申 鐃緒申鼎痢鐃�$ 1$鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃縦￥申 鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃�$ 1-f$ 鐃緒申 $ (X-2)^2$ 鐃叔鰹申鐃緒申擇鐃暑。
(同鐃粛のわ申里鐃�3鐃縦削申鐃宿�鐃竣わ申鐃緒申鐃暑。)

(鐃緒申)鐃緒申辰箸鐃緒申擇鐃緒申鐃祝￥申蓮鐃緒申鐃緒申里茲�鐃祝わ申鐃暑こ鐃夙でわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申

Step 1..
$ f_0=(X-1)(X-3)^3$ 鐃緒申佑鐃緒申襦� ($ f_0$ 鐃熟常申鐃� (1),(2)鐃塾常申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申)
Step 2..
% latex2html id marker 1017 $ f_0(2)\neq 0$ 鐃淑ので￥申 $ f_1=\frac{1}{f_0(2)}f_0$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申 (鐃緒申鐃緒申鐃� $ f_1$ 鐃緒申 鐃緒申両鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�$ f_1(2)=1$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申討鐃緒申襦�
Step 3..
$ (1-f)$ 鐃緒申 $ X=2$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃縦わ申鐃緒申鐃緒申鼎鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申弔茲�鐃淑関随申鐃緒申 鐃緒申鐃祝わ申 $ (1-f)^2$ 鐃夙￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃処し鐃銃わ申鐃出よい鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申鐃春わ申鐃暑。
Step 4..
$ f_2=1-(1-f)^2$ 鐃緒申佑鐃緒申鐃出￥申鐃緒申鐃緒申肋鐃塾常申鐃�(1),(2),(3)鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申鐃緒申法鐃熟￥申鐃緒申鐃緒申愎鐃緒申鐃緒申里鐃緒申鐃渋醐申澆鐃緒申襪鰹申箸鐃緒申歉擇鐃緒申鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申襪�鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃純干鐃盾く鐃淑わ申里鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申襦� 鐃緒申鐃緒申鐃叔￥申

(鐃緒申) $ 1/((X-1)(X-2)^2(X-3)^3)$ 鐃緒申鐃緒申分分鐃緒申展鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申法鐃盾あ鐃暑。

  $\displaystyle \frac{1}{(X-1)(X-2)^2(X-3)^3}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{(X-1)} +\frac{a_2}{(X-2)} +\frac{a_3}{(X-2)^2} +\frac{a_4}{(X-3)} +\frac{a_5}{(X-3)^2} +\frac{a_6}{(X-3)^3}$    

鐃夙わ申辰董鐃� $ a_1,a_2,\dots,a_6$ 鐃緒申(留鐃緒申鐃緒申鐃緒申他鐃緒申鐃緒申法鐃緒申)鐃緒申鐃銃￥申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ f$ 鐃緒申彁鐃緒申鐃緒申鐃塾でわ申鐃暑。鐃純え鐃緒申 $ a_3$ 鐃薯研究す鐃緒申砲鐃� 両鐃春わ申 $ (X-2)^2$ 鐃緒申櫃鐃緒申討鐃緒申鐃� $ X=2$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� (鐃緒申鐃暑い鐃熟￥申$ X\to 2$ 鐃塾極限わ申箸鐃緒申)鐃処い鐃緒申 $ a_2$ 鐃緒申 両鐃春わ申 $ (X-2)^2$ 鐃緒申櫃鐃緒申鐃緒申鐃緒申醗鐃緒申鐃� $ X$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃銃￥申 鐃緒申鐃曙か鐃緒申 $ X=2$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃暑こ鐃夙でわ申箸鐃緒申鐃暑。

(鐃緒申) 鐃緒申鐃緒申旅峙鐃緒申虜埜鐃祝わ申辰鐃緒申茲�鐃祝￥申$ 1,2,3$ 鐃叔わ申鐃曙ぞ鐃緒申 $ 1,0,0$, $ 0,1,0$, $ 0,0,1$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃粛わ申箸鐃処う鐃緒申多鐃準式 % latex2html id marker 1066 $ q_1,q_2,q_3(=1-q_1-q_2)$ 鐃緒申箸蝓� % latex2html id marker 1068 $ q_1+q_2+q_3=1$ 鐃緒申両鐃春の高い鐃述わ申彁鐃緒申鐃緒申襦ｏ申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申

% latex2html id marker 1070 $\displaystyle (q_1+q_2+q_3)^N=1^N $

鐃緒申佑鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申發�鐃暑。鐃緒申鐃春わ申展鐃緒申鐃緒申鐃銃出てわ申鐃緒申鐃緒申

% latex2html id marker 1072 $\displaystyle q_1^{e_1} q_2^{e_2} q_3^{e_3} \qquad (e_1+e_2+e_3=N) $

$ e_1,e_2,e_3$ 鐃塾どれか鐃緒申弔鐃緒申腓�鐃緒申鐃淑わ申里如鐃� $ p_1^{e_1} p_2^{e_2} p_3^{e_3} (A)$ 鐃緒申 $ V_1,V_2,V_3$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃曙か鐃塾みわ申 0 鐃夙異なわ申鐃粛わ申箸襦ｏ申鐃緒申鐃緒申鐃夙に居申鐃緒申多鐃準式鐃緒申 鐃竣誌申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申錣縁申任鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申 4.1   鐃緒申鐃塾刻申鐃緒申離鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申標鐃準型鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

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平鐃緒申15年11鐃緒申8鐃緒申