next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...

���������II ���� No.2

�����Υơ���:

\fbox{¹ÔÎó¤Î¼å¸ÇÍ­¶õ´Ö}

���Τ��Ȥ�ͽ���μ��Ȥ����ΤäƤ����ΤȲ��ꤹ�롣

���� 2.1   $ {\mathbb{C}}$ �����Ū���ΤǤ��롣���ʤ���� $ {\mathbb{C}}$ ���1�ѿ�¿�༰ (�Ĥޤꡢ $ {\mathbb{C}}[X]$ �θ�)�ǡ�����Ǥʤ���� ��ɬ�����ʤ��Ȥ��Ĥκ����ġ�

�� 2.1   $ {\mathbb{C}}[X]$ �θ��ǡ�����Ǥʤ���Τ�ɬ���켡�����Ѥ�ʬ��Ǥ��롣

���ơ�$ n$ ������������ $ A \in M_n({\mathbb{C}})$ ���Ф��ơ�

$\displaystyle E,A,A^2,A^3,\dots, A^{n^2}
$

��ɬ���켡��°�Ǥ��뤫�顢

���� 2.1   ��˥å��� $ {\mathbb{C}}[X]\setminus {\mathbb{C}}$ �θ� $ f(X)$ �ǡ�

$\displaystyle f(A)=0
$

����������Τ�ɬ��¸�ߤ��롣

�Ȥ������Ȥ�ʬ���롣���Τ褦�� $ f$ �Τ����������� �Ǿ��ʤ�Τ� $ A$ �κǾ�¿�༰�ȸƤ֡��ֵܹ��Ǥϡ� ���Ф餯 $ A$ �κǾ�¿�༰�Τ��Ȥ� $ \mu_A(X)$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��褦��

$\displaystyle \mu_A(X)=(X-\lambda_1)^{e_1} (X-\lambda_2)^{e_2}\dots (X-\lambda_s)^{e_s}
$

( $ \lambda_1,\dots,\lambda_s$ ����ۤʤ� $ \mu_A$ �κ��ǡ� $ e_1,\dots, e_s$ �� ���줾��ν�ʣ��)�Ȱ���ʬ�򤹤뤳�Ȥ��Ǥ��롣

̿�� 2.2   $ {\mathbb{C}}^n$ �� $ (A-\lambda_i)^{e_i}=0$ ���������褦����ʬ���� $ V_i$ ��ľ�¤� ʬ�ò¤¹¤ë¤³ï¿½È¤ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ë¡£ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$\displaystyle V_i=\{v\in {\mathbb{C}}^n; (A-\lambda_i)^{e_i} v=0\}
$

�ʤ뼰�� $ V_i$ ���������ȡ�

$\displaystyle {\mathbb{C}}^n=\oplus_{i=1}^s V_i
$

�� $ {\mathbb{C}}^n$ �� $ V_i$ ��ľ�¤�ʬ�򤵤�롣

̿�� 2.3   ���Τ褦�� $ {\mathbb{C}}[X]$ �θ� $ p_1,p_2,\dots,p_s$ ��¸�ߤ��롣 (����Ū�� $ \lambda_1,\lambda_s,e_1,e_2,\dots,e_s $ ����׻���ǽ�Ǥ��롣)
  1. $ p_1(A)+p_2(A)+\dots p_s(A)=1 $
  2. \begin{displaymath}
% latex2html id marker 864p_i (A) p_j(A)=
\begin{cases}
p_...
...=j \text{ ¤Î¤È¤­}) \\
0 & (i\neq j \text{ ¤Î¤È¤­})
\end{cases}\end{displaymath}

  3. $ p_i(A) {\mathbb{C}}^n =V_i$

��� 2.1   $ V_i$ �Τ��Ȥ� $ A$ �� $ \lambda_i$ ��°������ͭ���֤Ȥ�����

���� 2.1   $ 7$ ����������

$\displaystyle A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
& & 2 & 1 \\
& & 0& 2 & \\
&&&& 3 & 1 & 0\\
&&&& 0& 3 & 1 \\
&&&& 0 & 0& 3
\end{pmatrix}$

(�񤤤Ƥ��ʤ���ʬ������ 0 )���Ф��ơ�̿�� 2.3�������� $ p_1,p_2,\dots,p_s$ �����Ū�� ���衣����ˡ� $ p_1(A),p_2(A),\dots,p_s(A)$ ����衣



ʿ��15ǯ10��9��