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鐃緒申鐃緒申鐃�II 鐃庶験略鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 14.1   鐃緒申鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_p \ni x \mapsto x^k-x^2 \in {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申鐃緒申鐃粛種申鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_p \ni x \mapsto 0 \in {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃淑るた鐃緒申鐃� $ k,p$ 鐃塾常申鐃緒申 鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 (鐃緒か鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申砲鐃� $ k,p$ 鐃塾でわ申鐃緒申鐃緒申鐃渋随申鐃緒申鐃緒申箸澆鐃緒申个鐃緒申鐃緒申鐃縦の種申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿わ申鐃緒申判鐃所せ鐃処。)

(鐃緒申鐃緒申) $ k>0$ 鐃叔￥申$ k-2 $ 鐃緒申 $ p-1$ 鐃叔鰹申鐃緒申擇鐃緒申个茲わ申鐃�

(鐃緒申鐃緒申) 鐃舜居申鐃緒申, 鐃叔緒申亮鐃緒申鐃緒申鐃� $ f$,鐃緒申鐃塾種申鐃緒申鐃緒申 $ g$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申 $ k=0$ 鐃淑わ申 $ f=g$ 鐃夙なわ申里鐃緒申垈鐃叔緒申覆里如鐃� $ k>0$ 鐃塾常申鐃緒申佑鐃緒申襦� 鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申 $ f(0)=g(0)=0$ 鐃叔わ申鐃暑か鐃緒申, $ x\in {\mathbb{F}}_p^\times$ 鐃塾とわ申鐃緒申 $ f$ 鐃緒申 $ g$ 鐃緒申鐃粛わ申鐃緒申鐃竣わ申鐃暑か鐃宿わ申鐃緒申調鐃駿わ申个茲わ申鐃�

鐃緒申鐃殉￥申 $ k-2=(p-1)m$ 鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 $ m$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣わ申鐃夙わ申鐃緒申函鐃� 鐃春ワ申鐃緒申泙両鐃緒申鐃緒申鐃緒申砲鐃緒申

$\displaystyle x^k-x^2=(x^{p-1})^m x^2-x^2 =1^m x^2-x^2=0 $

鐃夙なり、$ f(x)=g(x)$ 鐃緒申鐃緒申鐃駿てわ申 $ x\in {\mathbb{F}}_p^\times$ 鐃祝つわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃縦わ申鐃夙わ申 鐃緒か鐃暑。

鐃春わ申, $ f=g$ 鐃夙駕申鐃所し鐃処う鐃緒申$ k-2 $ 鐃緒申 $ p-1$ 鐃叔鰹申辰鐃� 鐃緒申鐃緒申 $ m$, 鐃緒申鐃殉わ申鐃� $ r$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃夙￥申鐃緒申鐃銃わ申 $ x\in {\mathbb{F}}_p^\times$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申,

$\displaystyle f(x)=x^k-x^2=x^2(x^r-1) $

鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒申鐃銃縁申佑砲鐃緒申討錣�鐃暑。 $ f(x)=g(x)=0$ 鐃緒申, 鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1151 $ x^2\neq 0$ (鐃叔￥申鐃緒申鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申鐃緒申)鐃緒申鐃緒申鐃初、$ x^r-1=0$ 鐃緒申鐃緒申鐃駿てわ申 $ x\in {\mathbb{F}}_p^\times$ 鐃祝つわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃縦わ申鐃夙になる。鐃盾し % latex2html id marker 1159 $ r\neq 0$ 鐃淑わ申鐃�, 鐃緒申鐃緒申鐃� $ p-1$ 鐃緒申 鐃塾醐申鐃緒申 $ r$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾削申鐃祝なるこ鐃夙になって￥申矛鐃盾。鐃醇え鐃祝￥申 $ r=0$ 鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申妨造蕕削申鐃緒申鐃緒申鐃緒申肋鐃緒申鐃緒申覆箸聾鐃緒申鐃淑わ申鐃殉でわ申覆鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申)鐃緒申鐃緒申鐃獣てはわ申鐃緒申動鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 14.2   鐃緒申 $ K$ 鐃緒申2鐃縦の醐申 $ x,y$ 鐃緒申鐃緒申 $ x^2+y^2=0$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申$ x=0$ 鐃緒申鐃緒申 $ y=0$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申仂鐃緒申鐃緒申鐃縦わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃淑わ申鐃夙随申鐃緒申 3鐃縦以上あ鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申($ K$ 鐃緒申標鐃緒申鐃緒申 0 鐃塾常申鐃緒申 0 鐃叔なわ申鐃緒申鐃緒申両鐃緒申鐃祝つわ申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃暑こ鐃緒申.)

(鐃緒申鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申牢鐃獣縁申任鐃緒申襦Ｉ醐申鐃� 0 鐃淑わ申 $ K={\mathbb{C}}$ 鐃緒申

$\displaystyle 1^2+(i)^2=0 $

鐃淑どわ申反鐃緒申箸覆襦�

標鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾わ申里亡悗鐃緒申討蓮鐃宿醐申鐃� $ 2$ 鐃緒申 $ K={\mathbb{F}}_2$ 鐃緒申

$\displaystyle 1^2+1^2=0 $

標鐃緒申 $ 5$ 鐃緒申 $ K={\mathbb{F}}_5$ 鐃緒申,

$\displaystyle 1^2+2^2=0 $

鐃淑どわ申反鐃緒申砲鐃緒申鐃緒申鐃出よい鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 14.3   $ {\mathbb{F}}_5$ 鐃緒申鐃渋随申犲� $ X^2+X-1$ 鐃塾削申鐃緒申 $ \alpha$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_{5}[\alpha]$ 鐃緒申多鐃準式 $ X^6-1$ 鐃緒申貅￥申鐃緒申鐃緒申僂鐃淑�鐃薯しなわ申鐃緒申鐃緒申

(鐃緒申鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申呂泙鐃緒申鐃緒申辰討鐃緒申辰鐃緒申鐃緒申鷦ー鐃緒申里曚鐃緒申鐃� $ X^2+X+2$ 鐃祝わ申鐃駿わ申鐃叔わ申鐃獣わ申鐃緒申 $ X^2+X-1$ 鐃熟器申鐃緒申任覆鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申里泙泙任鐃�, $ X^6-1$ 鐃熟一次鐃緒申鐃緒申鐃術わ申分鐃緒申任鐃緒申覆鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申(鐃淑わ申分鐃緒申任鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申泙粘泙瓩�)鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申摘鐃熟鰹申無鐃叔わ申鐃獣わ申鐃緒申鐃巡し鐃緒申鐃渋わ申任鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ ({\mathbb{F}}_{25})^\times$ 鐃塾位随申鐃緒申 24 鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃術わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申辰鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 14.4   鐃緒申鐃叔随申 $ p$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申鐃�2鐃術随申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ V_1=V((X^2-2Y^2-1)(Y-2))$ 鐃塾刻申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃舜随申 $ Z(V_1/{\mathbb{F}}_p,t)$ 鐃緒申鐃緒申茵�

$ V(X^2-2Y^2-1)$ 鐃緒申 $ V(Y-2)$ 鐃塾駈申鐃緒申鐃緒申分鐃緒申 $ (3,2),(-3,2)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。 鐃緒申鐃緒申奮鐃緒申蝋峙鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申未鐃叔わ申鐃暑。 念鐃塾わ申鐃緒申暴劼戮討鐃緒申鐃緒申函鐃� $ W= V(X^2-2Y^2-1)$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申, % latex2html id marker 1235 $ W({\mathbb{F}}_q)$ 鐃塾醐申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿�鐃竣わ申鐃緒申鐃緒申里鐃緒申鐃緒申鐃�

(1) $ 2$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1239 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申平鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申弔箸鐃緒申砲蓮鐃� % latex2html id marker 1241 $ W({\mathbb{F}}_q)$ 鐃塾醐申鐃塾随申鐃緒申 % latex2html id marker 1243 $ {\mathbb{F}}_q^\times$ 鐃塾醐申鐃塾随申鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃獣て￥申% latex2html id marker 1245 $ q-1$ 鐃叔わ申鐃暑。

(2) $ 2$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1249 $ {\mathbb{F}}_q$ 鐃緒申平鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申箸鐃緒申砲鐃�, % latex2html id marker 1251 $ W({\mathbb{F}}_q)$ 鐃塾醐申鐃塾わ申鐃緒申 $ (1,0)$ 鐃淑鰹申鐃緒申

% latex2html id marker 1255 $\displaystyle (\frac{m^2+2}{m^2-2},\frac{2m}{m^2-2}) \qquad (m\in {\mathbb{F}}_q) $

鐃夙パワ申瓠種申鐃宿緒申鐃緒申任鐃緒申董鐃� % latex2html id marker 1257 $ \char93 W({\mathbb{F}}_q)=q+1$ 鐃祝なわ申.

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃獣わ申 $ 2$ 鐃緒申 modulo $ p$ 鐃緒申平鐃緒申鐃緒申余鐃淑わ申鐃�,

$\displaystyle Z(W/{\mathbb{F}}_p,t)$ $\displaystyle =\exp(\sum_{k=1}^\infty( (p^k-1)/k t^k)$    
  $\displaystyle =\frac{1-t}{1-pt}$    

鐃夙なわ申, $ 2$ 鐃緒申 modulo $ p$ 鐃緒申平鐃緒申鐃緒申鐃粛常申覆鐃緒申 $ \char93 (W({\mathbb{F}}_{p^r})=p^r+(-1)^r$ 鐃緒申 鐃淑っわ申,

$\displaystyle Z(W/{\mathbb{F}}_p,t)$ $\displaystyle =\exp(\sum_{k=1}^\infty( (p^k+(-1)^k)/k t^k)$    
  $\displaystyle =\frac{1}{(1-pt)(1+t)}$    

鐃緒申鐃夙は￥申鐃緒申鐃縮わ申,鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ W,U$ 鐃緒申鐃出わ申鐃緒申,

$\displaystyle Z(W\cup U)=Z(W)Z(U)/Z(W\cap U) $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃緒申(鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申里茲�鐃淑ワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申戰鐃叔なわ申,鐃縦随申鐃塾ワ申戰鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申 鐃緒申鐃銃わ申茲�.)鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申僂鐃緒申鐃出よい鐃緒申

鐃緒申鐃緒申鐃緒申

$ p$ 鐃緒申平鐃緒申鐃緒申余鐃塾とわ申(鐃縦まわ申 $ p$ 鐃緒申 $ 8$ 鐃叔鰹申辰鐃緒申鐃緒申泙蠅� $ 1$ 鐃殉わ申鐃緒申 $ 7$ 鐃塾とわ申,

$\displaystyle Z(V_1,t)=\frac{1-t}{1-pt} \frac{(1-t)^2}{1-pt}=\frac{(1-t)^3}{(1-pt)^2} $

$ p$ 鐃緒申平鐃緒申鐃緒申鐃粛常申里箸鐃�(鐃縦まわ申 $ p$ 鐃緒申 $ 8$ 鐃叔鰹申辰鐃緒申鐃緒申泙蠅� $ 3$ 鐃殉わ申鐃緒申 $ 5$ 鐃塾とわ申,

$\displaystyle Z(V_1,t)=\frac{1}{(1-pt)(1+t)} \frac{(1-t)^2}{1-pt}=\frac{(1-t)^2}{(1-pt)^2(1+t)} $

鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃祝なわ申.

鐃緒申鐃緒申 14.5   鐃緒申鐃叔随申 $ p$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申 $ {\mathbb{F}}_p$ 鐃緒申鐃�3鐃術随申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ V_2=V((X^2+Y^2-Z^2)$ 鐃塾刻申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃舜随申 $ Z(V_2/{\mathbb{F}}_p,t)$ 鐃緒申鐃緒申茵�

$ X$ 鐃緒申標 $ x$ 鐃緒申鐃粛にわ申辰鐃� % latex2html id marker 1316 $ V_2({\mathbb{F}}_{q})$ 鐃塾醐申鐃緒申分鐃準す鐃緒申个茲わ申鐃� (鐃緒申鐃緒申牢鐃緒申鐃緒申鐃重�鐃祝は円随申鐃緒申平鐃縮わ申鐃准るこ鐃夙にわ申鐃緒申鐃緒申). $ x=0$ 鐃塾とわ申鐃熟￥申 $ V(Y^2-Z^2)$ 鐃塾駕申凌鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐓居申鐃�(% latex2html id marker 1322 $ 2q-1$)鐃塾はわ申鐃叔わ申鐃暑。 % latex2html id marker 1324 $ x\neq 0$ 鐃塾とわ申鐃熟￥申$ Y/x$, $ Z/x$ 鐃緒申 $ Y,Z$ 鐃緒申鐃術随申鐃術器申鐃緒申鐃暑こ鐃夙にわ申鐃�, % latex2html id marker 1332 $ \char93 (V(x^2+Y^2-Z^2)({\mathbb{F}}_{q}))=\char93 (V(1+Y^2-Z^2)({\mathbb{F}}_{q}))$ 鐃薯える。 鐃緒申鐃塾駕申凌鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃縁申鐃� % latex2html id marker 1334 $ q-1$ 鐃祝なる。鐃緒申鐃夙はわ申鐃緒申鐃緒申足鐃緒申鐃出よい鐃緒申

% latex2html id marker 1336 $\displaystyle \char93 V(X^2+Y^2-Z^2)({\mathbb{F}}_{q})= 2q-1 +(q-1)(q-1)=q^2 $

鐃緒申辰鐃�

$\displaystyle Z(V_2/{\mathbb{F}}_p,t)=\exp(\sum_{k=1}^\infty \frac{p^{2k}}{k} t^k)=\frac{1}{1-p^2t} $

鐃夙なる。

鐃緒申鐃緒申 14.6   $ n=123556429$ 鐃夙わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃叔わ申 $ 2^n$ 鐃緒申鐃粛わ申 鐃竣誌申鐃緒申鐃処。鐃殉わ申鐃緒申$ n$ 鐃緒申鐃叔随申鐃夙わ申鐃緒申鐃暑か鐃宿わ申鐃緒申鐃緒申判鐃所し鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 鐃竣誌申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申椶鐃緒申鐃宿�鐃竣はなわ申鐃緒申鐃緒申鐃宿のよう鐃緒申鐃緒申法鐃緒申里辰鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃暑こ鐃夙￥申

(鐃緒申鐃緒申)

MuPAD 鐃緒申 powermod 鐃舜随申鐃緒申弔鐃緒申鐃緒申亟鐃獣縁申任鐃緒申辰鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $ 84299180$ 鐃叔わ申鐃暑。 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申鐃春ワ申鐃緒申泙両鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申亢鐃緒申砲鐃緒申, $ n$ 鐃緒申鐃叔随申鐃叔なわ申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒か鐃暑。 念鐃塾わ申鐃緒申砲鐃緒申辰討鐃緒申鐃緒申鐃�, $ 2^n=2$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申噺鐃緒申辰董鐃�$ n$ 鐃緒申 鐃叔随申鐃叔わ申鐃緒申箸聾造鐃淑わ申鐃緒申

powermod 鐃淑わ申鐃塾わ申未箸鐃緒申鐃緒申佑里曚鐃緒申鐃渋随申鐃緒申任鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃駿わ申箸鐃緒申个茲わ申鐃�

$\displaystyle a b^{n}=(ab^\epsilon) (b^2)^{[n/2]} $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ [\bullet]$ 鐃熟ワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申, $ \epsilon=n-2[n/2]$ ($ n$ 鐃緒申 $ 2$ 鐃叔わ申辰鐃緒申鐃緒申泙鐃�) 鐃叔わ申鐃暑。 鐃竣誌申鐃緒申鐃緒申鐃� $ \log n$ 鐃緒申鐃緒申鐃純し鐃銃￥申$ n$ 鐃藷かわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申里箸鐃緒申鐃俊になわ申覆鐃緒申鐃緒申蕕ぢ�鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申鐃緒申砲鐃緒申茵�鐃竣誌申鐃緒申鐃緒申鐃緒申僂鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃緒申櫃鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃獣わ申鐃緒申

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2002年7鐃緒申31鐃緒申