next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...

�����II ���� No.9

�����Υơ���:

\fbox{Í­¸ÂÂΤϸµ¤Î¿ô¤Ç´°Á´¤Ë·è¤Þ¤ë¤³¤È II}

����������ߤޤ�ǡ�����������̿���Ĥ��Ƥ��ޤä��Τǡ�����Ϥ��ξ����򤹤롣

���� 9.1 (����8.1��Ʊ��)   �ǿ� $ p$ ���������� $ n$ ���Ф��ơ� ���θĿ��� % latex2html id marker 913
$ q=p^n$ �Ǥ���褦��ͭ���� $ K$ ��¸�ߤ���(����6.2)�� ���� $ K$ �ˤ������ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�
  1. $ K^\times$ ��(���Ȥ��Ƥ�)������ $ a$ �� $ {\mathbb{F}}_p$ ��κǾ�¿�༰�� ������ $ n$ �Ǥ��롣
  2. $ {\mathbb{F}}_p$ ��� $ n$ ���δ���¿�༰��ɬ�� $ K$ �ǰ켡�����Ѥ�ʬ�򤵤�롣

̿�� 9.2 (̿��8.3��Ʊ��)   �� $ k$ ����� $ K,L$ �����äơ�$ K$ �Τۤ��� $ k$ ���Ĥθ� $ \alpha$ ����������� $ k$ ��ͭ�¼������ΤǤ���Ȥ��롣 ����ˡ�$ \alpha$ �� $ k$ ��κǾ�¿�༰�� $ m$ �Ȥ����� ���ΤȤ����⤷��$ L$ �θ� $ \beta$ �ǡ� $ m(\beta)=0$ ����������Τ�����С� $ K$ ���� $ L$ �ؤ���ؤ�Ʊ������ $ \varphi$ �ǡ� $ \varphi(\alpha)=\beta$ ��ߤ�����Τ�¸�ߤ��롣

���� 9.3 (����8.4��Ʊ��)   �� $ K_1$, $ K_2$ �θ��ο����Ȥ��ͭ�¤ǡ�Ʊ�� % latex2html id marker 971
$ q$ �Ǥ���ʤ顢 $ K_1$ �� $ K_2$ �Ȥ�Ʊ���Ǥ���(���ʤ����$ K_1$ ���� $ K_2$ �ؤξ�ؤ� Ʊ������ $ \varphi$ ��¸�ߤ��롣

$ K^\times$ �ι�¤���Τ�ȡ����Τ褦����������դ����롣 (�Ȥϸ��äƤ⤳��� Fermat ������(���뤤�Ϸ����� Lagrange ������) �����ƤǤ��롣)

���� 2.3 ���̤ˡ��ǿ� $ p$ ���Ф��ơ� 10��ˡ�ǽ񤤤������� $ p$ �dz�� ��;���ְ���η����˶��ڤäơ� ������ˡ�Ϥ��ĤǤ�¸�ߤ�������� ���� (â��������� $ p= 2$ �� $ p=5$ �ξ����㳰�Ȥ��롣)

���� 4.2 $ K={\Bbb F}_{37}[X]/(X^3-X+2){\Bbb F}_{37}[X]$ �Ǥ� $ X$ �Υ��饹�� $ \xi$ �Ƚ񤯤Ȥ��� $ K$ �Ǥ� $ 12 \xi^2+5\xi+1$ �εո���� ��ʤ����� (�ʤ������� $ K$ �ϼ¤��ΤǤ���Τ����������ޤǤϼ����ʤ��� ��褤��)

(����) �����Υ�ݡ��Ȥ򸫤�ȡ� $ {\Bbb F}_{37}[X]/(X^3-X+2){\Bbb F}_{37}[X]$ �Τ褦�ʤ�Τΰ����ˤĤ��� ����Ǥ��Ƥ���ͤȡ��Ǥ��Ƥʤ��ͤκ����Ϥä���ʬ����Ƥ��Ƥ���Τ��狼�롣

$ {\mathbb{F}}_{37}$ �ˤĤ��ƤϤ狼�äƤ���褦������ $ {\mathbb{F}}_{37}[X]$ ������פ������� ���Ȥ� ����� $ (X^3-X+2){\mathbb{F}}_{37}[X]$ �dz�ä���;�Ĥ����򤬷礱�Ƥ���Τ�������

����� $ K$ �ǡ�$ X$ �Υ��饹��($ X$ �Ȥ��Τޤ�ɽ�����Ƥ��ɤ����� $ \overline{X}$ ���뤤�� $ [X]$ �Τ褦�ʵ���Ǥ�褤�Τ����������Ǥ� ����򸺤餹�����) $ \xi$ �Ƚ񤯤ȡ�$ K$ �Ȥϡ� $ {\mathbb{F}}_{37}$ �ˡ� $ \xi^3-\xi+2=0$ �Ȥ����ط������ä��� $ \xi$ �� �դ��ä��ƤǤ���ĤǤ��롣 $ \xi^3-\xi+2=0$ �Ȥ����ط������顢

$ 3(\xi^3-\xi+2)=0$, $ \xi(\xi^3-\xi+2)=0$, $ (\xi^2+30\xi+23)(\xi^3-\xi+2)=0$ �����δط�����������Ϥ��Ǥ��롣�ޤ���

$ \xi^3=\xi-2$, $ \xi^4=\xi^2-2\xi$

�ʤɤδط����������롣���Τ褦�ʴĤ򤽤⤽����뤫�ɤ������Ȥ������Ȥ� ����ʤ��ȤʤΤ��������줬¿�༰������ $ {\mathbb{F}}_{37}[X]$ �� $ X^3-X+2$ �� �ܿ������̤���Ȥ�����Τ����������������Ƥ���Τ��� �Ĥޤꡢ�ط��� $ \xi^3-\xi+2=0$ ���Ĥ褦�� $ \xi$ �� $ {\mathbb{F}}_{37}$ �� �դ��ä���Ȥ��������Ǥϡ�(���������μ���ʤ�������ʳ��Ǥ�) ���줬���ޤ��Ǥ��뤫�ɤ������狼��ʤ����� $ {\mathbb{F}}_{37}$-������¿�༰������ $ {\mathbb{F}}_{37}[X]$ �� $ (X^3-X+2)$ ���ܿ��� ˡ�Ȥ��ƥ��饹ʬ������

$\displaystyle f \sim g \ {\Leftrightarrow}\ f-g \in (X^3-X+2){\mathbb{F}}_{37}[X]
$

�Ȥ������ȤϤǤ���Ϥ��Ǥ��뤷�����Υ��饹ʬ���򤷤����饹������ $ K={\mathbb{F}}_{37}[X]/(X^3-X+2){\mathbb{F}}_{37}[X]$ ���Ĥι�¤���Ĥ��ȡ�����ˤ� $ X$ �� $ K$ �ǤΥ��饹����Ҥδط��������������Ȥ� �Τ������Ȥ����櫓�Ǥ��롣

���礦�ɡ� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ� $ 9=0$ ������Ω�Ĥ��Ȥ䡢 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ� $ 11=0$ �� ����Ω�Ĥ��Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣

���� 9.1   $ p=5$ �Ȥ��롣 $ {\mathbb{F}}_p$ ��Υ�˥å���4������¿�༰ $ f$ �����󤲡� $ f$ �ΰ�Ĥκ��� $ \alpha$ �Ȥ�������$ f$ ��¾�κ��� $ \alpha$ �Ǥ���路�ʤ����� (�Ĥޤꡢ$ f$ �� $ {\mathbb{F}}_p[\alpha]$ ��ǰ켡�����Ѥ�ʬ�ò¤·¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½)

�������Ͼ����񤷤����������Τ�ʤ��Τǡ� ����������ɲä��Ƥ�����������Ͼ�����ñ�Ǥ��롣

���� 9.2   �������� $ p=3$ �ΤȤ��Ϥɤ�����

ξ��������Ȥ⡢$ f$ �δ������ޤ������뤳�Ȥ�˾�ޤ�����



2002ǯ6��18��