�����II ���� No.7

�����Υơ���:

���󡢤����Ĥ�������������ξ������ĤäƤ��ޤäƤ�����

���� 7.1 (����6.1��Ʊ��)   �ǿ� $p$ ���������� $n$ �ˤ������ơ� ����� $q=p^n$ ���Τ�¸�ߤ��롣 ��äȾܤ��������ȡ� $X^q-X \in F_p[X]$ ���켡�����Ѥ�ʬ�ò¤¹¤ï¿½è¤¦ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ $L$ (��������ˤ�ä�¸�ߤ���) ��Ȥꡢ$L$ �Τʤ��� $X^q-X$ ������� $K$ �Ȥ����ȡ�$K$ ���Τǡ����θ��ο��� $q$ �ˤʤ롣

���������Τ����� $K$ ���Τǡ����θ��ο��� $q$ �ʲ��Ǥ��뤳�Ȥ����� ����������$K$ �θ��ο������礦�� $q$ �ĤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ˤϡ� ¿�༰����ʬ�γ�ǰ���ΤäƤ��������������Ǥ��롣

���� 7.1   �� $k$ ���¿�༰ $p(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ ���Ф��ơ� ������ʬ��

$$p'(X)=\frac{d}{dX}p(X)=\sum_{k=0}^n k a_k X^{k-1}$$

��������롣���λ���

1. ��ʬ�� $p$ �η����Τ�ɤ����֤��˴ط����ʤ���
2. ��ʬ�� $k$-�����Ǥ��롣
3. $(pq)'=p'q+pq'$.

���� 7.2 (����6.2�Ȥ��ʤ�)   ͭ���� $K$ ���Ф��ơ�

$$a_n= \char93 \{ x; x$$$$\text {¤Î°Ì¿ô¤Ï } n \}$$

���������ȡ�

1. $a_n\neq 0$ �Ǥ���Τ� $n$ �� $q-1$ ������λ��˸¤롣
2. $a_n\leq \varphi(n) =(1$    ���� $n$ �ޤǤ�������, $n$    �ȸߤ����Ǥʤ�Το�$)$

���� 7.2 (����6.2�Ȥ��ʤ�)   ͭ���� $K$ �ˤ������ơ��̿��� $\char93 (K)-1$ �Ǥ���褦�� $K$ �θ� $x$ ��¸�ߤ��롣 ����������ȡ�$K$ �ξ�ˡ�� $K^\times$ �Ͻ�󷲤Ǥ��롣

�� 7.1   �ǿ� $p$ ���������� $n$ ���Ф��ơ� ${\mathbb{F}}_p$ ��δ���¿�༰ $f(X)$�ǡ� ������� $n$ �Τ�Τ�¸�ߤ��롣

���ա����������(���Ĥ�����ȿ����)����٤ν���¤�Ǥ��ʤ�. �򤭤䤹����Τ�Ȥ����ȡ� �ޤ����������ܼ�Ū�˰㤦����Ȥ����櫓�ǤϤʤ��Τǡ������ ����Τ�������Dz򤯤��ȡ�

���� 7.1   ����� $16$ ���� $K$ �� ${\mathbb{F}}_2[X]/f(X){\mathbb{F}}_2(X)$ �η��ǤĤ��ꡢ ���� $K$ ������ $K^\times$ �����������ĵ��ʤ�����

���� 7.2   ����� $27$ ���� $K$ �� ${\mathbb{F}}_3[X]/f(X){\mathbb{F}}_3(X)$ �η��ǤĤ��ꡢ ���� $K$ ������ $K^\times$ �����������ĵ��ʤ�����

���� 7.3   ����� $25$ ���� $K$ �� ${\mathbb{F}}_5[X]/f(X){\mathbb{F}}_5(X)$ �η��ǤĤ��ꡢ ���� $K$ ������ $K^\times$ �����������ĵ��ʤ�����