����� II ���� No.8

�����Υơ���:

�ޤ������������α������ʬ������Τ� �⤦���ٴ�������񤤤Ƥ�����

���� 8.1   �η�����¿�༰�� $k[X_1,\dots,X_n]$ ��Ǥ�դΥ��ǥ��� $I$ ��ͭ�������Ǥ��롣

�ֵܹ��Ǥ�¿�༰����Ƴ������ܤ��������򤢤����褦�� �������꤬���פǤ��롣

�������ν��� $\Bbb N$ �� $0$ �������Ω�������ʤ�Ω�줬���뤬�� ���ιֵ��Ǥϰ�Ӥ��� $\Bbb N=\{0,1,2,\dots\}$ �� $0$ �������Ω���Ȥ롣

���� 8.1  

1.

�η�����¿�༰�� $k[X_1,\dots,X_n]$ �Υ��ǥ��� $I$ ���Ф��ơ�

$$L=\operatorname{Head}(I)=\{\operatorname{Head}(p); p\in I\}$$

��ͤ���ȡ� $L=\operatorname{Head}(I)$ �� $\Bbb N^n$ ����ʬ����ǡ�

$$L+\Bbb N^n \subset \Bbb N^n \tag{¡ú}$$

������Ω�ġ�

2.

$\Bbb N^n$ ����ʬ���� $L$ �ǡ�$($��$)$����������Τ�ɬ����ͭ�������� �Ǥ��롣���ʤ��������ͭ�¸Ĥθ� $l^{(1)},\dots l^{N} \in L$ �����äơ�

$$L= (l^{(1)}+\Bbb N^n)\cup (l^{(2)}+\Bbb N^n)\cup (l^{(3)}+\Bbb N^n)\cup \dots \cup (l^{(N)}+\Bbb N^n)$$

����Ω���롣

$$L'=\{(e_1,\dots,e_{n-1})\in \Bbb N^{n-1}; \quad \exists e \in \Bbb Ns.t., (e_1,\dots,e_{n-1},e)\in L \}$$

��Ǽˡ�β���ˤ�� $L'$ ��ͭ�������Ǥ��뤫�顢 ���� $v^{(1)},\dots,v^{(K)} \in L$ �����äơ������� ��1-��(n-1)��ʬ�ޤǤ�Ȥä���Τ� $L'$ ���������롣

$$b=\max_i \{v^{(i)}_n ; 1\leq i\leq K \}$$

�Ȥ�����$b$ �ʲ��γ����� $a$ �ˤĤ���

$$L_a= \{(e_1,\dots,e_{n-1})\in \Bbb N^{n-1}; \quad (e_1,\dots,e_{n-1},a)\in L \}$$

��ͤ��롣$L_a$ ���Ϥ�ͭ�������Ǥ��ꡢ �� $L_a$ ���������ȡ� $v^{(1)},\dots, v^{(K)}$ �� ������ʻ����ȡ������� $L$ ���������Ƥ��롣

���� 8.1  

$${\Bbb C}[X,Y,Z]/(Z^2X^3-X^3+4X^2+4X+Z-Y^2,Z-1)$$

�� $0$ �Ȱۤʤ븵 $f_1,f_2$ �ǡ� $f_1f_2=0$ �Ȥʤ��Τ���ȵ��ʤ�����