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鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� I 鐃緒申鐃緒申 No.11

鐃緒申鐃緒申鐃塾テ￥申鐃緒申:

\fbox{有限生成アーベル群の基本定理・行列のジョルダンの標準型再論}

鐃緒申鐃緒申 11.1   PID $R$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦� 有鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $R$-鐃獣件申鐃緒申 必鐃緒申

\begin{displaymath}R/(e) \qquad (e\in R) \end{displaymath}

鐃塾件申鐃緒申 $R$-鐃獣件申鐃緒申有鐃渋個わ申直鐃渋わ申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃旬講居申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃竣わ申鐃出わ申鐃出￥申$R/(e)$ 鐃熟わ申鐃緒申鐃淑�鐃薯さわ申襪鰹申箸鐃緒申錣�鐃暑。 (PID 鐃熟逸申鐃淑�鐃緒申鐃�(UFD)鐃叔わ申鐃獣わ申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申 11.1   PID $R$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦� 有鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $R$-鐃獣件申鐃緒申 必鐃緒申

\begin{displaymath}R^l\oplus R/(p_1^{n_1}) \oplus R/(p_2^{n_2})\oplus \dots \oplus R/(p_k^{n_k}) \end{displaymath}

( $p_1,\dots p_k$ 鐃緒申 $R$ 鐃緒申鐃叔醐申,$l,k$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申, $n_1,\dots n_k$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申) 鐃塾件申鐃緒申 $R$-鐃獣件申鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申 11.1   有鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃駿ル群鐃熟わ申鐃淑らず

\begin{displaymath}{\mbox{${\Bbb Z}$}}^l\oplus {\mbox{${\Bbb Z}$}}/(p_1^{n_1}) \... ...p_2^{n_2}) \oplus \dots \oplus {\mbox{${\Bbb Z}$}}/(p_k^{n_k}) \end{displaymath}

( $p_1,\dots p_k$ 鐃緒申鐃叔随申, $l,k$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申, $n_1,\dots n_k$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申) 鐃塾件申鐃塾ワ申鐃緒申鐃駿ル群鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申鐃塾もう鐃緒申弔侶呂箸鐃緒申董鐃緒申鐃緒申鐃塾ワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿醐申犒随申鐃� 鐃緒申鐃遵げ鐃処う鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 11.2  

鐃縦器申鐃緒申 $k$ 鐃緒申旅鐃緒申鐃� $A\in M_n(k)$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦� 鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申

1.
$k^n$ 鐃熟種申鐃塾よう鐃緒申 $k[X]$ 鐃獣件申鐃夙みるこ鐃夙わ申鐃叔わ申鐃暑。

\begin{displaymath}p(X).v=p(A)v \qquad(p\in k[X],\ v\in k^n) \end{displaymath}

鐃緒申鐃緒申法鐃緒申鐃緒申里茲�鐃祝みわ申鐃夙わ申 $k^n$ 鐃緒申有鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $k[X]$-鐃獣件申鐃叔わ申鐃暑。
2.
鐃春わ申, $k[X]$ 鐃獣件申 $M$ 鐃叔￥申$k$ 鐃緒申有鐃渋種申鐃緒申鐃叔わ申鐃緒申鐃塾わ申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申函鐃� $M$ 鐃熟わ申鐃緒申鐃緒申鵑�わ申鐃塾よう鐃祝削申鐃曙た鐃緒申里鐃� $k[X]$-鐃獣件申鐃夙わ申鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。
3.
鐃緒申鐃� $M$ 鐃熟種申鐃塾よう鐃緒申 $k[X]$-鐃獣件申鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

\begin{displaymath}M\cong k[X]/(p_1^{n_1}) \oplus k[X]/(p_2^{n_2})\oplus \dots \oplus k[X]/(p_k^{n_k}) \end{displaymath}

( $p_1,\dots,p_k$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申隆鐃緒申鐃渋随申犲逸申鐃� $n_1,\dots,n_k$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申)
4.
$M$ 鐃緒申鐃緒申里茲�鐃緒申分鐃薯さわ申討鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申函鐃� $A$ 鐃塾最常申多鐃準式鐃緒申 $p_1^{e_1},p_2^{e_2},\dots , p_k^{e_k}$ 鐃塾削申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申鐃竣わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申鐃緒申蠅�鐃初、鐃緒申鐃緒申鐃祝ワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿醐申犒随申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襪�鐃緒申鐃旬細わ申 鐃緒申檗鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃祝常申鐃緒申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 11.1   鐃緒申 $k$ 鐃緒申鐃渋随申犲�

\begin{displaymath}p(X)=X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\dots + a_1 X + a_0 \end{displaymath}

鐃緒申鐃縦わ申鐃塾各￥申鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃� $ M=k[X]/p(X)$ 鐃緒申 $k$ 鐃駿ワ申鐃夙ワ申鐃緒申屬箸鐃緒申討亮鐃緒申鐃緒申鐃緒申瓠�

\begin{displaymath}M \ni [f]\mapsto [Xf(X)] \in M \qquad (\text{$[f]$ は多項式 $f$ の $M$ でのクラス}) \end{displaymath}

鐃塾刻申鐃緒申表鐃緒申鐃緒申与鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申($M$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申隆鐃緒申鐃熟刻申鐃緒申鐃緒申与鐃緒申鐃銃よい)

1.
$p(X)=X-a \qquad (a\in k)$
2.
$p(X)=(X-a)^2 \qquad (a\in k)$
3.
$p(X)=(X-a)^n \qquad (a\in k, n \in {\mbox{${\Bbb Z}$ }},n>0)$
4.
$p(X)=X^4+2X^3+3X^2+4X+5$
鐃述ワ申函鐃�$k[X]/p(X)$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申隆鐃緒申鐃叔逸申鐃瞬逸申直鐃淑わ申里鐃�

\begin{displaymath}\{1,\ X,\ X^2,\ X^3,\ \dots,\ X^{n-1}\} \end{displaymath}

鐃叔わ申鐃暑。鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申2,3 鐃叔わ申

\begin{displaymath}\{1,\ (X-a),\ (X-a)^2,\ \dots,\ (X-a)^{n-1}\} \end{displaymath}

鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申


Yoshifumi Tsuchimoto
2000-12-12