next up previous
Next: About this document ...

    

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� I 鐃緒申鐃緒申 No.9

鐃緒申鐃緒申鐃塾テ￥申鐃緒申:

\fbox{有限生成 $R$ -加群}

鐃緒申鐃� 9.1   $R$-鐃獣件申 $M$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦�$M$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃緒申 $N$ 鐃緒申 $M$ 鐃緒申 $R$-鐃緒申分鐃獣件申 鐃叔わ申鐃緒申箸蓮鐃�$N$ 鐃緒申 $M$ 鐃緒申鐃緒申分鐃獣件申鐃叔￥申鐃緒申鐃緒申 $R$ 鐃塾削申鐃術につわ申鐃緒申鐃縦わ申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申函鐃�$M$ 鐃緒申 $R$-鐃緒申分鐃獣件申鐃夙わ申 鐃緒申$M$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃緒申鐃� $R$-鐃獣件申鐃塾刻申造鐃緒申鐃緒申弔鐃塾」でわ申鐃暑。 (鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申$R$-鐃獣件申鐃夙わ申鐃銃の刻申造鐃緒申 $M$ 鐃塾わ申里鐃緒申鐃緒申造鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾でなわ申鐃緒申个覆鐃淑わ申鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申 9.1   鐃緒申 $R$ 鐃緒申 $R$-鐃獣件申 $M$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦�$M$ 鐃塾醐申 $m_1,\dots m_n$鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申鐃緒申鐃塾わ申鐃夙わ申同鐃粛でわ申鐃暑。
1.
$\{m_1,\dots,m_n\}$ 鐃緒申 $M$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃暑。
2.
$Rm_1+\dots Rm_n=M.$
3.
$R^n$ 鐃緒申鐃緒申 $M$ 鐃舜の種申鐃緒申

\begin{displaymath}R^n \ni (r_1,\dots,r_n)\mapsto r_1m_1+\dots r_nm_n \end{displaymath}

鐃緒申鐃緒申鐃粛でわ申鐃暑。

鐃緒申鐃� 9.2   $M$ 鐃緒申($R$-鐃獣件申鐃夙わ申鐃緒申)有鐃渋個の醐申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申 鐃緒申$M$ 鐃緒申有鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $R$-鐃獣件申鐃叔わ申鐃緒申廚箸鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃� 9.3   鐃縦器申鐃緒申 $R$ 鐃緒申任鐃春のワ申鐃叔ワ申鐃暑が有鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃� $R$ 鐃熟ネ￥申鐃緒申鐃緒申鐃縦でわ申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃�

PID 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃粛￥申鐃緒申鐃緒申鐃縦でわ申鐃暑。鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾のなわ申鐃緒申 ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ 鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申 $k$ 鐃緒申裡鐃緒申竸鐃渋随申犲逸申鐃� $k[X]$ 鐃熟ネ￥申鐃緒申鐃緒申鐃縦でわ申鐃暑。 鐃緒申鐃縮に￥申鐃粛￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $R$ 鐃緒申鐃� $n$-鐃術随申多鐃準式鐃緒申 $R[X_1,\dots, X_n]$ 鐃緒申 鐃粛￥申鐃緒申鐃縦でわ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃塾わ申鐃銃わ申鐃緒申(鐃述ワ申戰鐃夙の器申鐃緒申鐃緒申)鐃緒申 鐃緒申鐃緒申砲弔鐃緒申討蓮鐃緒申楾峙鐃緒申濃鐃緒申屬鐃緒申鐃緒申鐃出常申鐃緒申鐃緒申鐃暑こ鐃夙にわ申鐃暑。

$R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申醗鐃緒申未鐃� $R$ 鐃獣件申鐃塾間には種申鐃塾よう鐃淑関件申鐃緒申鐃緒申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 9.2   鐃縦器申鐃緒申 $R$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申
1.
$R$ 鐃緒申鐃夙わ申 $R$-鐃獣件申鐃叔わ申鐃暑。
2.
鐃緒申$R$ 鐃緒申 $R$-鐃緒申分鐃獣件申鐃竣わ申 鐃緒申$R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申廚鐃銃縁申鐃緒申任鐃緒申襦�
3.
$R$-鐃獣件申 $M$ 鐃緒申鐃緒申弔慮鐃� $m$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申弌鐃� 鐃緒申鐃緒申 $R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申 $I$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申 $M$ 鐃緒申 $R/I$ 鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 9.3   鐃縦器申鐃粛￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $R$ 鐃緒申鐃粛�鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $R$ 鐃獣件申 $M$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦� 鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申$M$ 鐃緒申 $R$-鐃緒申分鐃獣件申鐃緒申必鐃緒申 $R$鐃緒申有鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申 9.1   鐃縦器申鐃粛￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申$R$ 鐃緒申鐃粛�鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $R$鐃獣件申 $M$ 鐃緒申鐃出わ申鐃緒申 鐃緒申鐃塾よう鐃緒申 $R$-鐃獣件申鐃塾器申鐃緒申鐃緒申鐃緒申存鐃淳わ申鐃暑。

\begin{displaymath}R^n\overset{\phi}{\to} R^m \overset{\psi}{\to} M\to 0 \tag{※} \end{displaymath}

但鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃縮わ申 $R$-鐃獣件申鐃塾器申鐃緒申鐃緒申鐃緒申

\begin{displaymath}M_1\overset{\alpha}{\to} M_2\overset{\beta}{\to} M_3 \end{displaymath}

鐃夙は￥申 $\alpha,\beta$ 鐃夙わ申鐃� $R$-鐃獣件申鐃塾緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃獣て￥申

\begin{displaymath}\operatorname{Ker}(\beta)=\operatorname{Image}(\alpha) \end{displaymath}

鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃縦とわ申鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申鐃獣て￥申 (鐃緒申)鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申鐃夙は￥申
1.
$\psi$ 鐃緒申 鐃緒申鐃粛でわ申鐃暑。
2.
$\operatorname{Ker}(\psi)=\operatorname{Image}(\phi)$
鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申弔里鐃緒申箸鐃緒申鐃獣てわ申鐃暑こ鐃夙になる。 鐃夙わ申鐃祝￥申$\psi$ 鐃緒申

\begin{displaymath}M \cong R^m/\phi(R^n) \end{displaymath}

鐃夙わ申鐃緒申同鐃緒申鐃緒申誘導鐃緒申鐃暑。 $\phi $ 鐃緒申 $R^n$ 鐃緒申鐃緒申 $R^m$ 鐃舜わ申 $R$-鐃緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑か鐃初、鐃緒申鐃緒申侶鐃緒申能颪韻襦� 鐃緒申鐃塾刻申鐃緒申鐃宿醐申犒随申鐃緒申鐃緒申里鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾駕申鐃緒申任鐃緒申襦�

(鐃緒申) $R={\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ 鐃緒申硫歎鐃緒申僚鐃銃縁申鐃�

\begin{displaymath}\phi:R^4\to R^2 \end{displaymath}

鐃緒申

\begin{displaymath}\phi \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ s \end{pmatrix}= \begi... ... \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ s \end{pmatrix}\end{displaymath}

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦ｏ申鐃緒申里箸鐃緒申鐃�
1.
$\phi $ 鐃緒申 鐃緒申鐃粛でわ申鐃暑。鐃渋際￥申

\begin{displaymath}\psi \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = B \begin{pmatri... ... -10 & 15 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{displaymath}

鐃夙わ申鐃緒申鐃夙￥申 $\phi\circ \psi=\text{(恒等写像)}$ 鐃叔わ申鐃暑。
2.
$\operatorname{Ker}(\phi)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃銃は￥申鐃純え鐃出種申鐃塾わ申里鐃夙るこ鐃夙わ申鐃叔わ申鐃暑。

\begin{displaymath}\left\{ \begin{pmatrix} 12 \\ -25 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -126 \\ 10 \\ 0 \\ 17 \end{pmatrix}\right\} \end{displaymath}

鐃渋際￥申鐃緒申単鐃淑刻申鐃藷式の計誌申鐃祝わ申蝓� $B$ 鐃緒申鐃緒申戰鐃緒申肇鐃祝常申鐃緒申鐃縦のベワ申鐃夙ワ申鐃獣わ申鐃緒申鐃緒申里鐃� $R^4$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒か鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 9.1   $R={\Bbb C}[X]$ 鐃緒申硫歎鐃緒申僚鐃銃縁申鐃�

\begin{displaymath}\phi:R^4\to R^2 \end{displaymath}

鐃緒申

\begin{displaymath}\phi \begin{pmatrix} p(X) \\ q(X) \\ r(X) \\ s(X) \end{pma... ...x}\begin{pmatrix} p(X) \\ q(X) \\ r(X) \\ s(X) \end{pmatrix}\end{displaymath}

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦ｏ申鐃緒申里箸鐃緒申鐃�
1.
$\phi $ 鐃緒申 鐃緒申鐃粛でわ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申
2.
$\operatorname{Ker}(\phi)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申茲�鐃緒申有鐃渋緒申鐃緒申鐃緒申鐃薯あわ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

next up previous
Next: About this document ...
Yoshifumi Tsuchimoto
2000-11-24