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鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� I 鐃緒申鐃緒申 No.4

鐃緒申鐃緒申鐃塾テ￥申鐃緒申:

\fbox{行列のジョルダンの標準系}

鐃緒申鐃緒申癲�$k$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃塾わ申悗鐃緒申鐃塾とわ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 1   $A\in M_n(k)$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦�$k^n$ 鐃緒申直鐃緒申分鐃緒申

\begin{displaymath}k^n=V\oplus W \end{displaymath}

鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申 $A V\subset V$ 鐃緒申鐃緒申 $A W \subset W$ 鐃緒申澆鐃緒申鐃緒申覆蕁� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申則鐃緒申鐃緒申 $P\in M_n(k)$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申$PAP^{-1}$ 鐃緒申

\begin{displaymath}PAP^{-1}= \begin{pmatrix} X &0\\ 0 & Y \end{pmatrix}\quad \text{($X,Y$ のサイズはそれぞれ $V,W$ の次元に等しい。)} \end{displaymath}

鐃夙ブワ申鐃獣ワ申分鐃巡さ鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申泙任侶鐃縮わ申鐃夙み刻申錣誌申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃所が鐃緒申鐃緒申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 2   $A\in M_n(k)$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦�$A$ 鐃塾醐申有多鐃準式 $\Phi_A(X)$ 鐃緒申 $k[X]$ 鐃塾なわ申鐃叔一次鐃緒申鐃緒申鐃術わ申分鐃薯さわ申鐃�

\begin{displaymath}\Phi_A(X)=(X-\lambda_1)^{e_1}(X-\lambda_2)^{e_2}\dots(X-\lambda_l)^{e_l} \end{displaymath}

鐃淑わ申弌鐃� 鐃緒申鐃塾よう鐃緒申鐃緒申則鐃緒申鐃緒申 $P\in M_n(k)$ 鐃緒申存鐃淳わ申鐃暑。

1.
$PAP^{-1}$ 鐃緒申

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} A_1 &0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & A_2 & 0 & \... ...& A_{l-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & A_l \\ \end{pmatrix}\end{displaymath}

鐃夙ブワ申鐃獣ワ申分鐃巡さ鐃緒申襦�
2.
鐃緒申 $A_i$ 鐃塾ワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $e_i$ 鐃叔わ申鐃暑。
3.
$A_i$ 鐃塾醐申有鐃粛わ申 $\lambda_i$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�(鐃緒申複鐃駿わ申 $e_i$ ) 鐃塾みでわ申鐃暑。

鐃緒申有鐃粛わ申(鐃緒申複鐃駿わ申鐃緒申鐃緒申鐃�)鐃緒申鐃緒申鐃緒申弔任鐃緒申鐃処う鐃淑刻申鐃緒申鐃宿醐申鐃緒申鐃薯あわ申鐃緒申鐃緒申弌鐃緒申鐃緒申鐃緒申 標鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襪鰹申箸砲覆襦�

鐃緒申鐃緒申 3  
1.
$A\in M_n(k)$ 鐃塾醐申有鐃粛わ申(鐃緒申複鐃駿わ申鐃緒申鐃緒申鐃�) $\lambda$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申弔任鐃緒申辰董鐃� 鐃緒申鐃曙が $k$ 鐃緒申属鐃緒申鐃緒申覆蕁� $A -\lambda E$ 鐃熟駈申鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。
2.
鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $N\in M_n(k)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申則鐃緒申鐃緒申 $P\in M_n(k)$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申$PNP^{-1}$

\begin{displaymath}PNP^{-1}= \begin{pmatrix} N_1 &0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & N... ... & N_{s-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & N_s\\ \end{pmatrix}\end{displaymath}

鐃夙ブワ申鐃獣ワ申分鐃巡さ鐃緒申襦ｏ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申燃鐃� $N_i$ 鐃緒申

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} 0 &1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots... ... & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\end{displaymath}

鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申(鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃熟わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃暑。)鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 1 (鐃緒申鐃緒申離鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申標鐃緒申鐃�)   鐃緒申鐃緒申 $A\in M_n(k)$ 鐃塾醐申有多鐃準式鐃緒申 $k[X]$ 鐃塾なわ申鐃叔一次鐃緒申鐃緒申鐃術わ申分鐃薯さわ申鐃淑わ申弌鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申則鐃緒申鐃緒申 $P\in M_n(k)$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申$PAP^{-1}$ 鐃緒申

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} \lambda &1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & \lambda... ...lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda\\ \end{pmatrix}\end{displaymath}

鐃塾ワ申鐃緒申鐃竣の刻申鐃緒申鐃緒申亞僂鐃緒申造戞鐃緒申鐃緒申箸鐃� 0鐃叔わ申鐃緒申茲�鐃淑刻申鐃緒申砲覆襦� 鐃緒申鐃塾刻申鐃緒申 $PAP^{-1}$ 鐃緒申 $A$ 鐃塾ワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿醐申鐃緒申鐃夙呼ぶ￥申

鐃緒申鐃緒申 4.1   鐃縦わ申鐃塾各刻申鐃緒申 $A\in M_n(\mathbb C) $ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $PAP^{-1}$ 鐃緒申 $A$ 鐃塾ワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿醐申鐃緒申鐃夙なわ申茲�鐃緒申 $P$ 鐃夙￥申鐃緒申鐃塾ワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿醐申鐃緒申 $PAP^{-1}$ 鐃緒申鐃緒申茵�

1.

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\end{displaymath}

2.

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\end{displaymath}

3.

\begin{displaymath}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\end{displaymath}


Yoshifumi Tsuchimoto
2000-10-23