����� II ���� No.5

���� 5.1(��Ⱦ)

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ �Ȥδ֤�Ʊ���������ĺ��ʤ�����

(����)

�ʲ��Ǥ�¿�༰ $f\in Q[X]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$, $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ �ǤΥ��饹�� ���줾�� $\tilde{f}, \bar{f}$ �Ȥ�������ɽ�����뤳�Ȥˤ��롣

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ �θ� $a$ ��

$$a=\frac{\overline{X}-1}{2}$$

���������ȡ�$a$ ��

$$a^2+a+1=0$$

�����������Ȥ��ưפˤ狼�롣 �椨�ˡ��Ľ�Ʊ������

�����ޤ��������롣 $X^2+X+1$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �����Ǥ��뤫�顢 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ ���Ρ��椨�ˡ� ���δĽ�Ʊ������ $\phi$ ��ñ�ͤǤ��롣 ¾���� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ �θ��Ȥ��ơ�

$$\bar{X}=2a+1$$

�Ǥ��뤫�顢 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ �� $a$ �ˤ�ä���������롣 �������äơ�$\phi$ �����ͤǤ��뤳�Ȥ��狼�롣

(�ͤ���) $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+3)$ �Τ褦�ˡ�Ʊ������ $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ �� ��Ĥΰۤʤ����������̤��뤳�Ȥϡ��褯�Ԥ��뤳�ȤǤϤ��뤬�� �����Ϥ��ʤ꺮�𤷤Ƥ����褦�Ǥ��롣 �������äơ��ʲ��ǤϤ���äȵ�����Ѥ��ơ�

$$\mbox{${\Bbb Q}$}[X]/(X^2+X+1)\cong\mbox{${\Bbb Q}$}[Y]/(Y^2+3)$$

�Ȥ���Ʊ���κ������ͤ��Ƥߤ뤳�Ȥˤ��褦����β�����Ʊ�ͤˡ� $f(X)\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ �ǤΥ��饹�� $\tilde{X}$, $g(Y)\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]/(Y^2+3)$ �ǤΥ��饹�� $\bar{Y}$ ��ɽ�����뤳�Ȥˤ��롣

����ɤäƸ��Ƥߤ褦��

[step 1] $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ �Ǥϡ� $\tilde{X}$ �� $\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ �� Ʊ�����ܤ򤷡� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]/(Y^2+3)$ �Ǥϡ�$\bar{Y}$ �� $\sqrt{-3}$ �� Ʊ�����ܤ򤷤Ƥ��롣$\sqrt{-3}$ ��ξ���ˤǤ����꤬�ݥ���ȤǤ��롣

[step 2] �ߤ�����ߴ�äƤߤ롣 step 1���顢 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ �Ǥϡ� $2\tilde{X}+1$ ����$\sqrt{-3}$ �� Ʊ�����ܤ򤷤Ƥ��뤷�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]/(Y^2+3)$ �Ǥϡ� $\frac{\bar{Y}-1}{2}$ �� $\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ �����ܤ򤷤Ƥ��롣

�����䤤�ǤϤɤ�����Τ���Ǥ�¾�����Τ˸����Ƥ� Ʊ������������Ǥ��롣��������Τ�Ȥˤʤ�ΤϤ��ιͻ��Ǥ��롣

[step 3] Ʊ�����ܤ򤷤Ƥ�����Ʊ�Τ��б������롣

�����ǤϹͤ��򤷤ܤ뤿��ˡ� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2+X+1)$ ���� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[Y]/(Y^2+3)$�ؤ��б���ͤ��뤳�Ȥˤ��褦�����Τ���������Ū�ˤʤ�Τϡ�

$\tilde{X}$ �Ϥɤθ����б�������٤�����

�Ǥ��롣$\tilde{X}$ ��Ʊ��Ư���򤹤븵���б������ͤФʤ�ʤ��� step 2 ���顢 $\frac{\bar{Y}-1}{2}$ ���б�������Ф褫������ �Ȥ������Ȥˤʤ롣

[step 4] $\tilde{X}$ �� $a=\frac{\bar{Y}-1}{2}$ ���б�������Ȥ��ơ� ���ȤΤ�ΤϤɤ��б�����Τ��� �б�����Ʊ���ˤʤ뤿��ˤϡ�
$$\begin{align*}&\tilde{X} \mapsto a\\ &\tilde{X}^2 \mapsto a^2\\ &\tilde{X}^3 \... ...3\\ &\tilde{X}^4 \mapsto a^4\\ &\tilde{X}^5 \mapsto a^5\\ &\dots \end{align*}$$
���б����ͤФʤ�ʤ������Τ��Ȥ��顢���Ȥ��С�

$$\phi(6\tilde{X}^3+5\tilde{X}+2) =6a^3+5a+2$$

���б�������٤��Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣 ���Τ褦�ʼ������Ū�˽񤯤ȡ�

$$\phi(\widetilde{p(X)})=p(a)$$

�Ȥʤ�櫓�Ǥ��롣�츫���Ū�˸����뼰�⡢��̣�����狼��� �礷�����Ȥ��ʤ����Ȥ˵��Ť��Ȼפ���

������������Υ�ݡ��ȤǤϤ櫓��狼�餺�ˡֱ���פ��� �Ѥʼ���񤤤Ƥ������Ƥ�¿���ä���

[step 5] �б��Ϥ��ޤ��������Ƥ��뤫�� �褦�ϡ�

$$\widetilde{p(X)}=\widetilde{q(X)} \implies p(a)=q(a)$$

������Ω�äƤ��뤫���Ȥ������Ȥˤʤ�櫓���� ���������4.3 �ε��������ƤǤ��롣��Ʊ�������ΰ�̣������Ƥ��롢 �ȸ��äƤ�褤��

���Ȥϲ����˽Ҥ٤��̤�Ǥ��롣

(��Ⱦ) $\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{10}$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ ��κǾ�¿�༰�� ���ʤ�����

$$X^2-6\sqrt{5}X-117-16\sqrt{5}\quad (=(X-3\sqrt{5})^2-2(1+4\sqrt{5})^2)$$

�ºݡ� $X=\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{10}$ �Ϥ���¿�༰�κ��Ǥ��롣

����¿�༰�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ �����Ǥ��뤳�Ȥϡ����Τ褦�ˤ��Ƥ狼�롣 �⤷������¿�༰(�󼡼�)�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ �����Ǥʤ���С� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ �Τʤ��˺� $x$ ���ĤϤ��Ǥ��롣���� $x$ ���Ф��ơ�

$$y=\frac{x-3\sqrt{5}}{1+4\sqrt{5}}$$

�Ȥ����ȡ�

$$y^2=2$$

���ʤ�� $y$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ �Τʤ��� $2$ ��ʿ������ Ϳ���Ƥ��뤳�Ȥ��狼�롣 ����ϡ����Ĥ�μ�ˡ��Ȥäơ�̷��������뤳�Ȥ��狼�롣 �椨�ˡ��ºݤˤϤ��Τ褦�� $x$ �Ϥʤ�������¿�༰�ϴ���Ǥ��뤳�Ȥ��狼�ä���

(�ͤ���)

$$\lambda=\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{10}$$

�Ȥ��������μ��ǡ� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ �θ������ܤ��ʤ���

$$\lambda=3\sqrt{5}+(1+4\sqrt{5})\sqrt{2}$$

�ȤޤȤ�Ƥߤ�ȡ�$\sqrt{2}$ ����ʬ�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{5}]$ ������ʤ��������ʬ���� ���Ť��������ä��ˤϡ� $\sqrt{2}$ ����ʬ����褹�뤫�����ˤ�äƤ����Ф����� ���ʤ�����ޤ���

$$\lambda-3\sqrt{5}=(1+4\sqrt{5})\sqrt{2}$$

�Ȱܹष�ơ�ξ�դ���褹��Ф褤�����Ȥ�ñ��׻��Ǥ��롣