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鐃緒申鐃緒申鐃� II 鐃緒申鐃緒申 No.11

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鐃緒申鐃� 11.1   鐃緒申 $k$ 鐃夙わ申鐃塾鰹申鐃緒申鐃緒申 $L$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦� $k$ 鐃緒申鐃緒申鐃重�鐃淑醐申 $x\in L$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申 $k$ 鐃緒申虜脳鐃渋随申犲逸申鐃� $f$ 鐃夙わ申鐃暑。 $f$ 鐃緒申鐃重削申鐃緒申發随申覆鐃緒申箸鐃緒申鐃�$x$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃�

(鐃緒申鐃緒申) 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾よう鐃祝￥申$x$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣てわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $L$ 鐃緒申(鐃緒申鐃緒申的鐃祝わ申必鐃竣わ申鐃緒申) 鐃緒申鐃緒申鐃銃緒申鐃竣でなわ申鐃緒申腓�鐃緒申鐃暑。鐃淑駕申鐃叔はわ申鐃塾よう鐃淑とわ申鐃祝は￥申 $L$ 鐃緒申鐃緒申鐃塾に書かわ申鐃緒申単鐃緒申 鐃緒申$k$ 鐃緒申鐃緒申鐃重�鐃淑醐申 $x$ 鐃竣でわ申鐃殉わ申鐃緒申鐃夙にわ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 11.1   鐃緒申 $k$ 鐃緒申鐃渋随申犲� $f(X)$ 鐃緒申鐃出わ申鐃緒申 $k[X]$ 鐃塾醐申 $\frac{d}{dX}f(X)$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申的鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申襦� $\frac{d}{dX}$ 鐃緒申 $k$-鐃緒申鐃緒申鐃叔￥申

\begin{displaymath}\frac{d}{dX}(f(X)g(X)) =\left(\frac{d}{dX}f(X)\right)g(X) +f(X)\left(\frac{d}{dX}g(X)\right) \end{displaymath}

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 11.2   鐃緒申 $k$ 鐃夙￥申 $k$ 鐃緒申鐃緒申鐃重�鐃淑醐申 $x$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $k$ 鐃緒申虜脳鐃渋随申犲逸申鐃� $f$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃夙￥申鐃緒申鐃塾わ申鐃夙わ申同鐃粛でわ申鐃暑。
1.
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2.
$f$ 鐃熟重削申鐃緒申鐃縦￥申
3.
$\frac{d}{dX}(f(X))=0$
4.
鐃緒申 $k$ 鐃緒申鐃緒申標鐃緒申鐃叔わ申鐃所、鐃緒申鐃緒申標鐃緒申鐃緒申 $p$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃夙￥申$f$ 鐃緒申 $x^p$ 鐃緒申 多鐃準式鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申 11.1   $k={\Bbb F}_p(Y)$ 鐃緒申鐃渋随申犲� $X^p-Y$ 鐃塾削申鐃緒申 $k$ 鐃緒申鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申 11.1   鐃緒申 $k$ 鐃夙￥申$k$ 鐃緒申鐃緒申鐃重�鐃淑醐申 $x$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣わ申鐃夙わ申鐃暑。 鐃盾し $k$ 鐃緒申標鐃緒申鐃緒申 $0$ 鐃淑わ申弌鐃�$x$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃暑。 鐃盾し $k$ 鐃緒申有鐃緒申鐃塾なわ申弌鐃�$x$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 11.3   $k$ 鐃緒申 無鐃渋個の醐申鐃緒申泙鐃緒申里任鐃緒申鐃夙わ申鐃暑。 $k$ 鐃緒申鐃緒申鐃重�鐃淑醐申 $\alpha,\beta$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃銃￥申$\alpha$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申 分離的鐃叔わ申鐃獣わ申鐃夙わ申鐃暑。鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申
1.
$k[\alpha]$ 鐃塾醐申鐃熟わ申鐃駿わ申 $k$ 鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃暑。
2.
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3.
鐃緒申鐃緒申鐃� $\beta$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃緒申箸鐃緒申襦� 鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申鐃� $c$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $\gamma=c\alpha+\beta$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃夙￥申 $\gamma$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 11.1   鐃緒申 $k$ 鐃緒申鐃緒申咾鐃緒申粒鐃緒申鐃緒申鐃� $L$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦� 鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申

\begin{displaymath}\{x\in L; \text{$x$ は $k$ 上分離的である。}\} \end{displaymath}

鐃緒申 $k$ 鐃緒申泙鐃� $L$ 鐃緒申鐃緒申分鐃塾でわ申鐃暑。

鐃緒申鐃� 11.2   鐃緒申 $k$ 鐃緒申有鐃渋種申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $L$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦� $L$ 鐃塾どの醐申 $x$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃� $L$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離鐃緒申鐃緒申鐃塾でわ申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 11.2   鐃緒申 $k$ 鐃夙￥申鐃緒申鐃緒申有鐃渋種申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $L=k[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n]$鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦ｏ申鐃緒申里箸鐃緒申鐃�$L$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離鐃緒申鐃緒申鐃塾でわ申鐃暑た鐃緒申鐃� 必鐃竣緒申分鐃緒申鐃熟￥申 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 鐃緒申鐃緒申鐃駿わ申 $k$ 鐃緒申 分離的鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙でわ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 11.3   無鐃渋個の醐申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $k$ 鐃緒申有鐃渋種申分離鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $L$ 鐃緒申必鐃緒申単鐃緒申鐃緒申鐃緒申里任鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申如鐃緒申鐃縮居申存弔慮鐃緒申鐃緒申帖廚箸鐃緒申鐃� $k$ 鐃塾常申鐃熟はわ申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃叔わ申鐃暑。 鐃緒申鐃緒申11.3鐃薯参照のわ申鐃夙￥申

鐃緒申鐃緒申 11.1   鐃縦わ申鐃緒申 $\alpha,\beta\in {\Bbb C}$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃銃￥申 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha,\beta]=\mbox{${\Bbb Q}$ }[c\alpha+\beta]$鐃夙なわ申茲�鐃緒申 $c\in \mbox{${\Bbb Q}$ }$ 鐃薯それぞ鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�(鐃緒申由鐃緒申添鐃緒申鐃暑こ鐃夙￥申)
1.
$\alpha=\sqrt[3]{5},\quad \beta=\sqrt[3]{5}\omega$      $(\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})$
2.
$\alpha=\sqrt{3},\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
鐃緒申鐃緒申望鐃塾鰹申鐃緒申砲弔鐃緒申董鐃� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha+\beta]=\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha,\beta]$ 鐃緒申鐃淑りた鐃縦わ申鐃宿わ申鐃緒申調鐃駿なわ申鐃緒申鐃緒申(鐃緒申由鐃緒申添鐃緒申鐃暑こ鐃夙￥申)

鐃緒申鐃緒申 11.2   標鐃緒申 $p$ 鐃緒申鐃緒申 $k$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦�
1.
鐃春ワ申鐃駿ニワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $F:k\to k$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申(鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申同鐃緒申)鐃淑わ申弌鐃� $k$ 鐃緒申鐃� $X^p$ 鐃緒申多鐃準式鐃緒申必鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $X$ 鐃緒申多鐃準式鐃緒申 $p$ 鐃緒申里鐃緒申鐃緒申鐃緒申能颪韻鐃� (鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申鐃緒申鐃緒申任呂覆鐃�) 鐃緒申鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申
2.
$F$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃� $k$ 鐃塾醐申 $c$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣わ申鐃夙わ申鐃緒申函鐃� $X^p-c$ 鐃塾削申鐃緒申 $k$ 鐃緒申分離的鐃叔なわ申鐃緒申鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申
3.
$k$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申的鐃淑醐申鐃緒申鐃緒申鐃緒申分離的鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙と￥申鐃春ワ申鐃駿ニワ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申鐃粛でわ申鐃暑こ鐃夙わ申同鐃粛でわ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 11.3   有鐃緒申鐃緒申 $k$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申襦ｏ申鐃緒申里箸鐃緒申鐃�
1.
任鐃春わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $l$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申 $\{x\in k^\times; \text{$x$\space の $k^\times$\space での位数は $l$ } \}$ 鐃塾醐申鐃塾個随申鐃緒申

\begin{displaymath}\varphi(l) (=\text{($1$ から $l$ までの整数の中で、 $l$ と互いに素なものの個数)}) \end{displaymath}

鐃淑駕申鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 (鐃述ワ申鐃�:鐃縮随申 $l$ 鐃塾醐申鐃緒申鐃緒申鐃獣わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�$x_0$ 鐃夙わ申鐃暑。

\begin{displaymath}1,x_0,x_0^2,x_0^3,\dots x_0^{l-1} \end{displaymath}

鐃緒申鐃緒申鐃銃異わ申(鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申)鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃熟わ申鐃駿わ申 $X^l-1$ 鐃塾削申鐃叔わ申鐃暑。 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申$X^l-1$ 鐃塾削申鐃熟わ申鐃緒申鐃叔わ申鐃駿てつわ申鐃緒申鐃緒申討鐃緒申鐃�(鐃淑わ申鐃緒申)鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申 $\varphi(l)$ 鐃縦わ申鐃縮随申 $l$ 鐃塾醐申鐃叔￥申鐃緒申鐃緒申鐃淑鰹申鐃塾醐申鐃塾位随申鐃緒申 鐃緒申辰半鐃緒申鐃緒申鐃�(鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申)鐃緒申
2.
任鐃春わ申鐃緒申鐃緒申 $n$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃銃￥申

\begin{displaymath}\sum_{\text{$l$ は $n$ の約数}}\varphi(l)=n \end{displaymath}

鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 (鐃述ワ申鐃�:鐃緒申 $({\mbox{${\Bbb Z}$ }}/n{\mbox{${\Bbb Z}$ }},+)$ 鐃塾醐申鐃緒申命鐃緒申未鐃淑�鐃準し鐃銃￥申鐃銃￥申鐃塾個随申鐃緒申鐃夙わ申茵�)
3.
鐃緒申 $k$ 鐃塾常申法鐃緒申鐃熟￥申鐃緒申鷏欧任鐃緒申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�
4.
鐃緒申 $k$ 鐃緒申任鐃春わ申有鐃渋種申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $L$ 鐃緒申 $k$ 鐃緒申単鐃緒申鐃緒申鐃緒申里鐃� 鐃緒申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

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Yoshifumi Tsuchimoto
2000-06-26