����� II ���� No.7

��� 7.1 (���6.3�κƷ�)   �� $k$ �Ȥ��γ����� $K$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $K$ �� $k$ ����Ʊ��(���뤤�ϡ�$k$ ��μ���Ʊ��)�Ȥϡ� $K$ ���� $K$ �ؤ�Ʊ�� $\phi$ �Ǥ��äơ� Ǥ�դ� $x\in k$ ������ $\phi(x)=x$ ������Ω�Ĥ�Τ������

���� 7.1   �� $K$ �Ȥ�����ʬ�� $k$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ�$k$ ��� $K$ �μ���Ʊ�� $\sigma$ �����ä��Ȥ��롣���ΤȤ���$K$ ��Ǥ�դθ� $x$ ���Ф��ơ� $x$ �� $\sigma(x)$ �Ȥ϶���Ǥ��롣

���������򸵤ˤ��ơ�Ϳ����줿�Τ��ɤΤ��餤����Ʊ�����Ĥ�����Ǥ��롣

�� 7.1   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��μ���Ʊ�����ɤΤ��餤���뤫���Ƥߤ褦�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��μ���Ʊ���ΰ�Ĥ� $\sigma$ �Ȥ���ȡ� ��������ˤ�ꡢ $\sigma(\sqrt{2})$ �� $\sqrt{2}$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �� ����Ǥʤ��ƤϤʤ�ʤ��� ���Τ��Ȥ��顢$\sigma$ �ϼ�����ĤΤɤ��餫�����ʤ����Ȥ��狼�롣

1.

$\sigma(a+b\sqrt{2})=a+b\sqrt{2} \quad (a,b,\in \mbox{${\Bbb Q}$ })$ (��������)

2.

$\sigma(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2} \quad (a,b,\in \mbox{${\Bbb Q}$ })$

���� 7.1   �� $K$ �Ȥ�����ʬ�� $k$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$K$ �� $k$ ��μ���Ʊ�����Τ�(������Ʊ���˴ؤ���)����ʤ���

��� 7.2   ��������� $K$ �� $k$ ��μ���Ʊ�����Ȥ����� $\operatorname{Aut}_k(K)$ �Ƚñ¤­¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¤¹ï¿½ï¿½

���� 7.2   �⤷ $K$ �� $k$ ��ĤȤ��� $x_1,x_2,\dots, x_n$ ����������Ƥ���ʤ�С� $K$ �� $k$ ��μ���Ʊ�� $\sigma$ �� $\sigma(x_1),\dots,\sigma(x_n)$ �� ��äư�դ˷�ޤ롣

����:��������``�ĤȤ���''�Ƚ񤤤���ʬ��``�ΤȤ���''���֤������Ƥ� �������Ω���롣�����μ�֤�ۤܤ����ʤ���

�������ȡ�����7.1 ���Ѥ���ȡ��Τμ���Ʊ�����ɤΤ��餤���뤫 ���������狼�롣

�� 7.2   $\operatorname{Aut}_{\mbox{${\Bbb Q}$ }}(\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}])\cong{\mbox{${\Bbb Z}$ }}/2{\mbox{${\Bbb Z}$ }}.$

�� 7.3   $\operatorname{Aut}_{\mbox{${\Bbb R}$ }}({\Bbb C})\cong{\mbox{${\Bbb Z}$ }}/2{\mbox{${\Bbb Z}$ }}.$

�� 7.4   $\operatorname{Aut}_{\mbox{${\Bbb Q}$ }}(\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2},\sqrt{5}])\... ... Z}$ }}/2{\mbox{${\Bbb Z}$ }}\times {\mbox{${\Bbb Z}$ }}/2{\mbox{${\Bbb Z}$ }}.$

�� 7.5   $\operatorname{Aut}_{\mbox{${\Bbb Q}$ }}(\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt[3]{2}])=1.$

��������(���������)�Ǥϡ� $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ �Ȥ�����

�� 7.6   $\operatorname{Aut}_{\mbox{${\Bbb Q}$ }}(\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt[3]{2},\omega])=\frak{S}_3$ (�����оη�).

�� 7.7   $\operatorname{Aut}_{\mbox{${\Bbb Q}$ }[\omega]}(\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt[3]{2},\omega])={\mbox{${\Bbb Z}$ }}/3{\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ (�����оη�).

�����Ǥ⸫����褦�ˡ�����Ʊ����������鼡�Τ��Ȥ�����Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣

���� 7.3   ���Ĥ��� $K,M,k$ �����äơ� $K\supset M\supset k$ ���ʤꤿ�ĤȤ��� $\operatorname{Aut}_M(K)$ �� $\operatorname{Aut}_k(K)$ ����ʬ���Ǥ��롣

����ϡ�����7.1 �Ͻ����ֹ椬����ֹ�ο��ѡ� ����7.2 �Ͻ����ֹ椬�����ֹ�ο��ѤȤ��롣(7.3,7.4�ˤϤȤ������¤� �ʤ���â������ʤ���񤷤���)

���� 7.1   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{3},\sqrt{5}]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��μ���Ʊ�� $\sigma$ ����

$$\sigma(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\quad \sigma(\sqrt{15})=\sqrt{15}$$

�����������Ȥ��롣���ΤȤ��� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{3},\sqrt{5}]$ �θ�

$$x=a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}+d\sqrt{15} \quad (a,b,c,d\in \mbox{${\Bbb Q}$})$$

�� $\sigma$ �ˤ�äƤɤΤ褦�ʸ��˼̤���뤫( $\sigma(x)$ �Ϥ����餫) �Ҥ٤衣����ˡ����� $\sigma$ �ϼºݤ�

$$\sigma(x)\sigma(y)=\sigma(xy)$$

��ߤ������Ȥ�
$$\begin{align*}&x=a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}+d\sqrt{15} \quad (a,b,c,d\in \mbox{${\Bbb... ...\sqrt{3}+r\sqrt{5}+s\sqrt{15} \quad (a,b,c,d\in \mbox{${\Bbb Q}$ }) \end{align*}$$
�Ȥ����ƳΤ���Ƥߤ衣

���� 7.2   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2},\sqrt{7}]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��μ���Ʊ�� $\sigma$ ����

$$\sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\quad \sigma(\sqrt{14})=\sqrt{14}$$

�����������Ȥ��롣���ΤȤ��� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2},\sqrt{7}]$ �θ�

$$x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{7}+d\sqrt{14} \quad (a,b,c,d\in \mbox{${\Bbb Q}$})$$

�� $\sigma$ �ˤ�äƤɤΤ褦�ʸ��˼̤���뤫( $\sigma(x)$ �Ϥ����餫) �Ҥ٤衣����ˡ����� $\sigma$ �ϼºݤ�

$$\sigma(x)\sigma(y)=\sigma(xy)$$

��ߤ������Ȥ�
$$\begin{align*}&x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{7}+d\sqrt{14} \quad (a,b,c,d\in \mbox{${\Bbb... ...\sqrt{2}+r\sqrt{7}+s\sqrt{14} \quad (a,b,c,d\in \mbox{${\Bbb Q}$ }) \end{align*}$$
�Ȥ����ƳΤ���Ƥߤ衣

���� 7.3  

1.

$x^4+x^3+x^2+x+1=0$ ��ߤ���ʣ�ǿ� $x$ �򤹤٤Ƥ�Ȥ�衣(���Τ����� ��Ĥ� $\alpha$ �Ȥ����� (�ҥ��: ���Τ� $x^2$ �Ǥ�ꡢ $y=x+\frac{1}{x}$ �˴ؤ�������������ޤ��Ȥ���)

2.

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��μ���Ʊ��������衣

���� 7.4  

1.

�� $K=\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt[3]{2},\omega]$ �Τʤ��ǡ� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �� $\sqrt[3]{2}+\omega$�ȶ���ʤ�Τ����Ƥ�Ȥ�ʤ�����(������ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6$ �Ȥ�����)

2.

$S=\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6\}$ ���餽�켫�Ȥ���ñ�ͤ���ǡ�$K$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��μ���Ʊ������� �褷�������ʤ����(�Ĥޤꡢ$K$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��μ���Ʊ���� ��ĥ�Ǥ��ʤ����)����ʤ����� (���������ͳ(�ʤ���ĥ�Ǥ��ʤ��Τ�)��񤯤��ȡ�)