����� II ���� No.6

��� 6.1   $K$ ���� $k$ �� $K$ ����ʬ�ΤȤ��롣���ΤȤ���$K$ �� $k$ �δ֤� ����ΤȤϡ�$K$ ����ʬ�Τǡ�$k$ ��ޤ��ΤΤ��ȤǤ��롣

�� 6.1   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �Ȥ� �֤�����ΤǤ��롣

����Τ򤦤ޤ��Ѥ���ȡ�¿�༰�δ����������꤬�䤵�����ʤ��礬���롣

�� 6.2   $f(X)=X^4-10X^2+1$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �����Ǥ��롣

1.

�ޤ��� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ ���

$$X^4-10X^2+1= ((X-\sqrt{2})^2-3) ((X+\sqrt{2})^2-3)$$

��ʬ�򤹤롣

2.

����� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ ��δ���ʬ��Ǥ��롣

3.

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ �Ǥ� $f$ �δ�����Ҥΰ�Ĥ� $f_1$ �Ȥ���ȡ�$f_1$ �� $f$ �� ����Ǥ��뤫�顢 $f_1$ ������ܤΰ㤤������� $1, ((X-\sqrt{2})^2-3), ((X+\sqrt{2})^2-3),f$ �Τ����줫�ΤϤ��Ǥ��롣 ���Τ�����$1$ �ϴ�����Ҥ�����ˤ���������롣

4.

$f_1$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �����Ǥ��뤳�Ȥ��顢$f_1=f$.

��� 6.2   �� $K$ �Ȥ�����ʬ�� $k$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$a,b \in K$ �� ���ä��Ȥ���$a,b$ �� $k$ ���ò¸µ¤Ç¤ï¿½ï¿½ï¿½È¤Ï¡ï¿½$a,b$ �� $k$ �����Ū�Ǥ��äơ� $a$, $b$ �� $k$ ��κǾ�¿�༰�� (����ܤ������)���פ���Ȥ��˸�����

���� 6.1   $a,b$ �� $k$ �嶦��ʤ�С��ΤȤ��Ƥ�Ʊ�� $k[a]\cong k[b]$ ��¸�ߤ��롣

�� 6.3   $\sqrt{2}$ �� $-\sqrt{2}$ �Ȥ� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �嶦��Ǥ��롣

�� 6.4   �ͤĤθ� $\pm \sqrt{3}\pm \sqrt{5}$ �Ϥɤ���Ĥ�ߤ��� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �嶦��Ǥ��롣

�� 6.5   $\sqrt[3]{5}$ �� $\sqrt[3]{5}\omega$ (� $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})$) �Ȥ� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��ߤ��˶���Ǥ��뤬�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt[3]{5}]$ ��Ǥ���Ĥ϶���ǤϤʤ���

��� 6.3   �� $k$ �Ȥ��γ����� $K$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $K$ �� $k$ ����Ʊ��(���뤤�ϡ�$k$ ��μ���Ʊ��)�Ȥϡ� $K$ ���� $K$ �ؤ�Ʊ�� $\phi$ �Ǥ��äơ� Ǥ�դ� $x\in K$ ������ $\phi(x)=x$ ������Ω�Ĥ�Τ������

�� 6.6   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ ���餽�켫�Ȥؤν�Ʊ�� $\phi(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��� ����Ʊ���Ǥ��롣

���̤ˡ��� $k$ ���� ¾���� $k'$ �ؤ�Ʊ�� $\phi:k\to k'$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $\phi$ ��Ĥ��Τ褦�� $k[X]$ ���� $k'[X]$ �ؤ�Ʊ���˿��Ф����Ȥ��Ǥ��롣 ����򤳤ιֵ��Ǥϲ��� $\hat\phi$ �Ȥ������Ȥˤ��롣(����Ū�ʵ���ǤϤʤ���)
$$\begin{align*}&\hat\phi( a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0)\\ =& \phi(a_n)X^n+\phi(a_{n-1})X^{n-1}+\dots+\phi(a_1)X+\phi(a_0) \end{align*}$$

���� 6.2   �� $k$ �ȡ����γ����� $K$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ������ $K$ �� $k$ ��μ���Ʊ�� $\phi$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 �⤷ $f\in k[X]$, $g\in K[X]$ �����äơ� $f$ ��($K[X]$ �Τʤ���) $g$ �dz���ڤ��С� $f$ �� ($K[X]$ �Τʤ���) $\hat\phi(g)$ �Ǥ����ڤ�롣

�����������Ѥ���С���6.2�� $f$ �δ������Ϥ�äȴ�ñ�˼������Ȥ��Ǥ��롣

���� 6.1   �����ֹ�9?sm??? ���뤤�� 00ss??? �� ??? ����ʬ�������οͤ�i)������οͤ� ii)��Ȥ����ȡ�

i) $\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��κǾ�¿�༰���Ȥᡢ �ºݤˤ��줬����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ����ˡ� $\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}$ �ȶ���� ${\Bbb C}$ �θ��򤹤٤� ��Ȥ�ʤ�����

ii) $\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��κǾ�¿�༰���Ȥᡢ �ºݤˤ��줬����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ����ˡ� $\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}$ �ȶ���� ${\Bbb C}$ �θ��򤹤٤� ��Ȥ�ʤ�����

���� 6.2   $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��κǾ�¿�༰���ᡢ �ºݤˤ��줬����Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½