����� II ���� No.4

����4.1����4.3(����3.1 ����3.3 �κƷ�) �����ѽ��פǤ��롣

���� 4.1   Ǥ�դ��� $k$ ���Ф��ơ�$k[X]$ ��ñ�।�ǥ�������Ǥ��롣 ���ʤ����$k[X]$ ������Ǥ��äơ������⤽�Υ��ǥ��������ñ�।�ǥ��� $($��Ĥθ�����������륤�ǥ���$)$�Ǥ��롣

���� 4.2   �� $k$ �ȡ�$k[X]$ �θ� $f$ ��Ȥ롣$($�$f$ ������ǤϤʤ��Ȥ��롣$)$���ΤȤ�������Ʊ�ͤǤ��롣

1.

$k[X]/(f)$ ������Ǥ��롣

2.

$k[X]/(f)$ ���ΤǤ��롣

3.

$f$ �ϴ���¿�༰�Ǥ��롣

���� 4.3   �� $k$ �ȡ�$k[X]$ ��� $f$ ��Ȥ롣$($�$f$ ������ǤϤʤ��Ȥ��롣$)$���ΤȤ��� $K=k[X]/(f)$ �Ȥ�����$X$ �� $K$ �Ǥ�Ʊ����� $a$ �Ƚñ¤¯¤È¡ï¿½ ���Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1.

$K$ �� $k$ ��ޤ��ΤǤ��롣

2.

$K=k[a]$.

3.

$f(a)=0$.

4.

$[K:k]=\deg(f)\quad(\text{$f$\space ¤Î¼¡¿ô})$.

����������ϡ�$k$ �ˤ����餷����$f=0$ �κ���$a$ �����դ��ä��� �Τ�ֺ���(��������)���Ȥ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��Ƥ��롣 �������򷫤��֤��Ԥ����Ȥˤ�ꡢ���ޤ��ޤ��Τ������뤳�Ȥ��Ǥ��롣 ������äƹ���������Ʊ�Τδط��䡢��¸���ΤȤδط���������Υơ��ޤˤʤ롣

�� 4.1   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2-2)$ �ˤ����롢$X$ �Υ��饹�� $a$ �Ƚñ¤¯¤È¡ï¿½$a^2=2$. �ޤ���$(-a)^2=2$ ���ʤꤿ�ġ�

�� 4.2   $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(X^2-2X-1)$ �ˤ����롢$X$ �Υ��饹�� $b$ �Ƚñ¤¯¤È¡ï¿½$(b-1)^2=2$.

�������Ĥ���ǡ� $\pm a, \pm(b-1),\pm \sqrt{2}$ ��������褷�� $2$ �Ǥ��뤬�� �٤Ĥˤ����δ֤ˡ�����פ�����Ω�����ǤϤʤ�������Ϥ��Ȥ��С�����

$$A= \begin{pmatrix} 0 &2 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$$

�� $A^2=2$ ������������Ȥ��äơ� $A=\sqrt{2}$ �Ȥ����櫓�ǤϤʤ��Τ� Ʊ�ͤǤ��롣�ɤδĤ�ͤ��Ƥ��뤫�����δĤˤϤɤΤ��餤��������Τ��� �䤨���ռ����뤳�Ȥ�����Ǥ��롣

��â������������������Ĥ��Τ䡢 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ �ˤ� �����Ĥʤ��꤬���롣�¤Ϥ������ΤȤ���Ʊ���Ǥ��롣

���� 4.1   $f(X)=X^4-10X^2+1\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ ���Ф��ơ��Ĥ��γ��䤤�������ʤ����� (�Ǹ���䤤�����פǤ��äơ���ʤ���������⤤��)

1.

$f(X)$ �κ� (������ $f(x)=0 \quad (x\in {\Bbb C})$ �β�) �����Ƥ�Ȥ�衣

2.

$f(X)$ �� ${\Bbb C}[X]$ �θ��Ȥ����Ǹ�ʬ�򤻤衣

3.

�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(f)$ �Ǥ� $X$ �Υ��饹�� $a$ �Ȥ��������ΤȤ��� $(g(a) )^2=2$ ���������褦�� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ �θ� $g$ �ǡ����������ʲ��Τ�Τ� ��Ĥ�Ȥ�衣

����: �������ǡ� $f(X)$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ �θ��Ȥ��ƴ���Ǥ��롣 ���Τ��Ȥξ������񤷤��Ϥʤ������˻��Ǥ���Τǡ� �����ǤϾ����������Ѥ��Ƥ�褤��(�ֵ�������ˤĤ��Ʋ��⤹�롣)

���� 4.2   $\alpha=\sqrt[3]{5}(\in {\Bbb C})$ �Ȥ��� $x=\alpha^3-\alpha+1$ �Ȥ��������ΤȤ���

1.

$f(x)=0$ ����������Υ�˥å��ʻ����� $f(X)\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ ���ĵ��衣

2.

$f$ �ϴ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���

3.

���� $f$ ���Ф��ơ��� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]/(f)$ ��ͤ���$X$ �Τ����ΤǤΥ��饹�� $a$ �Ȥ��������ΤȤ��� $(g(a))^3=5$ �Ȥʤ� $g\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ ���ĵ��衣