����� II ���� No.3

����3.1����3.3 �����ѽ��פǤ��롣�����ϼ���ˤ��롣

���� 3.1   Ǥ�դ��� $k$ ���Ф��ơ�$k[X]$ ��ñ�।�ǥ�������Ǥ��롣 ���ʤ����$k[X]$ ������Ǥ��äơ������⤽�Υ��ǥ��������ñ�।�ǥ��� $($��Ĥθ�����������륤�ǥ���$)$�Ǥ��롣

���� 3.2   �� $k$ �ȡ�$k[X]$ �θ� $f$ ��Ȥ롣$($�$f$ ������ǤϤʤ��Ȥ��롣$)$���ΤȤ�������Ʊ�ͤǤ��롣

1.

$k[X]/(f)$ ������Ǥ��롣

2.

$k[X]/(f)$ ���ΤǤ��롣

3.

$f$ �ϴ���¿�༰�Ǥ��롣

���� 3.3   �� $k$ �ȡ�$k[X]$ ��� $f$ ��Ȥ롣$($�$f$ ������ǤϤʤ��Ȥ��롣$)$���ΤȤ��� $K=k[X]/(f)$ �Ȥ�����$X$ �� $K$ �Ǥ�Ʊ����� $a$ �Ƚñ¤¯¤È¡ï¿½ ���Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1.

$K$ �� $k$ ��ޤ��ΤǤ��롣

2.

$K=k[a]$.

3.

$f(a)=0$.

4.

$[K:k]=\deg(f)\quad(\text{$f$\space ¤Î¼¡¿ô})$.

��Τ��Ȥˤ�ꡢ����ʰ��ѿ�¿�༰ $f$ �򤭤�뤳�Ȥǡ� $k$ �γ����Τ����뤳�Ȥ��Ǥ��롣�Ǥϡ�$f$ ������Ǥ��뤫�ɤ����� �ɤ���äƤ狼��Τ����������ֵܹ��ǤϤĤ��ν����¤��Ѥ��롣

���� 3.1   ���Τ褦�� $f\in k[X]$ �ϡ����줾�����¿�༰�Ǥ��롣

1.

�켡����

2.

�󼡼��ޤ��ϻ������ǡ�$k$ �Τʤ��˺���⤿�ʤ���Ρ�

���� 3.1  

1.

$R$ ������ʤ顢$R[X]$ ������Ǥ��롣

2.

�Ĵ��� $S$ �Υ��ǥ��� $I$ �ˤ������ơ�

$$J=\{ f\in S[X]; \text{$f$ ¤ÎÁ´¤Æ¤Î·¸¿ô¤Ï $I$ ¤Î¸µ¤Ç¤¢¤ë}\}$$

�� $S[X]$ �Υ��ǥ���Ǥ��ꡢƱ�� $S[X]/J\cong (S/I)[X]$ ��¸�ߤ���

���� 3.2 (������)   ¿�༰ $f\in {\mbox{${\Bbb Z}$ }}[X]$ ���� ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}[X]$ �θ��Ȥ��ƴ���ʤ�С� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ �� ���Ȥ��Ƥ����Ǥ��롣

���� 3.4 (�������󥷥奿����)   ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ �ò·¸¿ï¿½ï¿½Ë¤ï¿½Ä¥ï¿½Ë¥Ã¥ï¿½ï¿½ï¿½Â¿ï¿½à¼°

$$f(X)=X^k+a_{k-1}X^{k-1}+a_{k-2}X^{k-2}+\dots+a_0$$

���������ǿ� $p$ ���Ф��ơ�������Ĥ��������ĤȤ��롣

1.

$f(X)=X^k \quad({\operatorname{mod}}p)$

2.

$f(X)$ �������� $p^2$ �dz���ڤ�ʤ���

���ΤȤ���$f$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ �����Ǥ��롣

���Τ��Ȥ�褯�Ѥ��롣

���� 3.5   Ǥ�դ� $f\in k[X]$ ��Ǥ�դ���� $c\in k$ ���Ф��ơ�

$f(X)$ ������ ${\Leftrightarrow}$ $f(X+c)$ ������.

���� 3.6   ��˥å���������¿�༰ $f(X)\in {\mbox{${\Bbb Z}$ }}[X]$ ��Ϳ�����Ƥ����Ȥ��롣�⤷ �����ǿ� $p$ ������ $f$ �� ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}/p{\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ ������¿�༰�Ȥ��ƴ���ʤ顢 $f$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ �θ��Ȥ��ƴ���Ǥ��롣

���� 3.1   ����¿�༰�ϴ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1.

$X^2-2 \in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$

2.

$X^3-X+2 \in ({\mbox{${\Bbb Z}$ }}/5{\mbox{${\Bbb Z}$ }})[X]$

3.

$X^4+7X^3+15X^2+13X+7 \in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$

���� 3.2   ͭ���� $k$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ��� $k$ ����󼡤�¿�༰

$$f(X)=X^2-X+c$$

������ˤʤ�褦�� $k$ �θ� $c$ ��ɬ��¸�ߤ��뤳�Ȥ򤷤ᤷ�ʤ�����