����� II ���� No.2

��� 2.1 (�Ĵ��Τ����)   �� $R$ ���Ĵ��ΤǤ���Ȥϡ�$R$ ���Ĵ��Ǥ��äơ�����ˡ� $0$ �ʳ��� $R$ �θ������Ƥ������ˤĤ��Ƶո����ĤȤ��˸�����

��� 2.2 (�Ĥ˸����դ��ä��ƤǤ�����)   �� $R$ �ȡ�������ʬ�� $S$, ����� $R$ �θ� $x_1,\dots,x_n$ �� Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$S$ �� $x_1,\dots,x_n$ �Ȥ�ޤ� $R$ ����ʬ�ĤΤ����Ǿ��Τ�Τ� $S[x_1,\dots,x_n]$ (�ѳ�̤�����) �Ƚñ¤­¡ï¿½$S$ �� $x_1,\dots x_n$ ���դ��ä��ƤǤ���ĤȸƤ֡�

���̤ˡ��� $K$ �ȡ�������ʬ�� $k$, ����� $K$ �θ� $x_1,\dots,x_n$ �� Ϳ�����Ƥ����Ȥ��Ƥ⡢ $k[x_1,\dots,x_n]$ ���ΤȤϸ¤�ʤ���

��� 2.3 (�Τ˸����դ��ä��ƤǤ�����)   �� $K$ �ȡ�������ʬ�� $k$, ����� $K$ �θ� $x_1,\dots,x_n$ �� Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$k$ �� $x_1,\dots,x_n$ �Ȥ�ޤ� $K$ ����ʬ�ΤΤ����Ǿ��Τ�Τ� $k(x_1,\dots,x_n)$ (�ݳ�̤�����) �Ƚñ¤­¡ï¿½$k$ �� $x_1,\dots,x_n$ ���դ��ä��ƤǤ����ΤȸƤ֡�

�����Ĥ�����Ǥϡ����Ǥ�¸�ߤ��� $x_1,\dots,x_n$ �� �դ��ä��뤳�Ȥ�ͤ��Ƥ��뤬�� ���ѿ��� $X_1,\dots,X_n$ ���դ��ä�����Τ⤽��˽स���������롣���ʤ����

• �� $S$ ���Ф��ơ� $S[X_1,\dots,X_n]$ (�ѳ��)�� $S$ �ò·¸¿ï¿½ï¿½Ë¤ï¿½ï¿½ $n$ �ѿ���¿�༰�ĤǤ��ꡢ
• �� $k$ ���Ф��ơ� $k(X_1,\dots,X_n)$ (�ݳ��)�� $k$ �ò·¸¿ï¿½ï¿½Ë¤ï¿½ï¿½ $n$ �ѿ���ͭ���ؿ��ΤǤ��롣

�� �ѳ�̤ȴݳ�̤λȤ�ʬ���ϼ��Τ褦�˳Ф��Ƥ������ɤ���

�Ĥ��뢪�ѳ��

�Τ��뢪�ݳ��

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }(X)$ �Ȥΰ㤤���狼�뤳�Ȥ�����Ǥ��롣

[��]

$$\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt{2}]=\mbox{${\Bbb Q}$}+\mbox{${\Bbb Q}$}\sqrt{2}$$

$$\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]=\mbox{${\Bbb Q}$}[\sqrt{... ...$}\sqrt{2}+\mbox{${\Bbb Q}$}\sqrt{3}+\mbox{${\Bbb Q}$}\sqrt{6}$$

��� 2.4   �� $K$ �Ȥ�����ʬ�� $k$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� $K$ �� $k$-�٥��ȥ���֤Ȥ��Ƥμ����� $K$ �� $k$ ��γ��缡���Ȥ����� $[K:k]$ �Ǥ���魯��

���� 2.1   �� $K$ �Ȥ�����ʬ�� $k$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ� $[K:k]<\infty$ �Ȥ��롣 ���ΤȤ���$K$ ��Ǥ�դθ� $x$ �� $K$ �����Ū�Ǥ��롣 ���ʤ�������� $1$ �ʾ������ $n$ �� $k$ �θ� $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$ �� ���äơ�

$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0=0$$

��ߤ�����

���� 2.1  

1.

$K=\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{5}]$ �� $\sqrt{2}$ �򸵤Ȥ��ƴޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����

2.

$K$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ ��Υ٥��ȥ���֤Ȥ��Ƥμ�������ʤ�����

���� 2.2   $K=\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{5}]$ ���ΤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½